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Come casi particolari delle precedenti formole, sarà bene stabilire alcune delle 
formole per la quartica ternaria scissa in fattori. 
Se una quartica si scinde in una conica u^- e due rette distinte: f^P^^u^^, 
il suo Hessiano, dopo facili riduzioni, si riduce alla forma: 
(4) A,= — ^ {puuy -r—-^ il^^^'f 'P- + ^ (2>«w') {qn»-')pq + ^ (i'5fM)(i'2w>«M'.]/ + 
e se y diventa eguale a p cioè se la quartica si scinde in una conica e in una 
retta doppia, allora il fattore che moltiplica fin. A, diventa un quadrato perfetto: 
(6) A,= - /-fi M"f.2>« . 
Se la quartica si decompone in quattro rette distinte 
f — pJlx'U'x'^x 
il suo Hessiano acquista la forma (dopo alcune riduzioni) : 
(6) A, — 1 [{P'iuy-v- 4- (quv)-ir -f fMt^j)^/ + {vpqfu- ]f=. 1 9/ . 
Se le quattro rette passano per uno stesso punto, allora tutti i determinanti 
{pqu) ,{qm),... sono zero, e si ha H^=0, come si sa, perchè allora la ,/ è ri- 
ducibile ad una forma binaria. 
Se invece tre delle rette p. es. q ,ii ,v, passino per un punto in modo che 
[quv)=z(i, allora si può mostrare che il fattore che moltiplica f si scinde in due 
fattori lineari. 
Infatti essendo allora 
si ha: 
3 1 
(pcjuy-v' + (ML-jj)-r/- + {vjjqY-H- = — {M^iy-K- -I- — [[p<l>^)v + 2(mvj^)'ì]* = 
= ^ + 2(mi;2>;2 -i- V — ò{pqu)v\ + 2(wi;j>)7 —V — Hvqu)v\ 
onde infine 
(7) -J— [2(«ty>)7 + (1 -f |/^) [2(«t-p)7 -r(I — K~) (F/")"]/ • 
1 u À 
questa espressione non è però simmetrica in q,u ,v, mentre che evidentemente 
A^ lo deve essere; permutando q,u,v, circolarmente si hanno altre tre espres- 
sioni di A^. 
