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E bene osservare che la condizione clic la quadratica clie moltiplica ,/ in A, , 
si scinda in due fattori lineari, è non solo necessaria, ma anche siijficienie perchè 
tre delle quattro rette in cui si scinde 0 passino per un punto. 
Giacché se teniamo presente la formola generale (6) e poniamo la condizione 
che la quadratica: 
si scinda in due fattori lineari, e perciò che il suo Hessiano sia zero: 
troviamo che tale Hessiano è (a meno di un fattore numerico) 
('/"vj" {uv}))- {vyqy = 0 
e perciò almeno uno dei quattro determinanti deve essere zero. 
Se in particolare supponiamo che due delle rette , q ,ii ,v sieno coincidenti, 
p. es. q e u, si ha : 
cioè le due rette in cui si divide il 'fattore che moltiplica y, sono in tal caso 
coincidenti. 
Anche questa condizione è, non solo necessaria, ma sufficiente perchè due delle 
rette in cui si scompone sieno coincidenti. 
Giacché supposto nella formola (7) che i due fattori che moltiplicano f sieno 
coincidenti, dovrà essere 
ma non ambedue, e poiché è già {quv) = 0, e non potendo le quattro rette passare 
per un punto unico, perchè sarebbe 1.^—0, contro l'ipotesi, ne viene che almeno 
due delle tre rette q .u , d devono coincidere, non potendo v coincidere con per- 
chè allora sarebbe, oltre (uvjj) = 0, anche [pqii,) =z [vpu) = 0 , e quindi daccapo 
A,= 0. 
Se poi nella (8) si suppone che le tre rette distinte p ^q passino per uu 
punto si ha A,.= 0, cioè V Hessiano di f è zero quando delle quattro rette in cui 
si scompone f, due sono coincidenti e le tre distinte passino per tm punto. 
Delle varie formole di questo § ci serviremo a più riprese nei §§ seguenti. 
§ 1.5. — Il criterio di Brill, per la decomposizione di una ternaria 
IN fattori lineari. 
Il criterio trovato da Brill per la decomposizione di una ternaria qualunque 
in fattori lineari è dato sotto una forma simbolica concisa e che richiede poi na- 
turalmente, caso per caso, speciali e laboriose calcolazioni. 
