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Per M — 3 da quel criterio si deduce non difficilmente la nota condizione in- 
variantiva per la decomposizione di una cubica in tre fattori lineari, ma appena 
per il caso seguente 71 = 4, ì calcoli si complicano in modo rilevante. E noi ci 
proponiamo appunto nei §§ seg. di studiare in modo completo il caso di w = 4 e 
di trovare le richieste condizioni sotto forma definitiva . partendo dal criterio di 
Brill. 
Per la letteratura su questo criterio, si vegga Brill, {Gott. Nach. Decemb. 
1893; Jahresb. der Dentsch. Modi. Vercin., t. V, 1897; Math. Ann., t. L), Junker 
{Math. Ann., t. XLIII) e Gordan {Math. Ann., t. XLV, p. 410). 
Sia f=z aj' e poniamo 
- ",/)" - 0 =/(X" + H ) . 
Si avrà 
e sieno s^s^ . . . le somme delle potenze simili delle radici della precedente equa- 
zione in X. 
Se ora si pone simbolicamente: 
il criterio di Brill è che : la relazione 
(in cui le u sono variabili indeterminate) è condizione necessaria e sufficiente 'per- 
chè ì sia dyC componibile in n fattori lineari. 
Il Gordan fece a ciò un'interessante aggiunta, facendo vedere che (apuy con- 
tiene sempre per fattore iix , e con lunghe e laboriose calcolazioni riuscì a trovare 
il quoziente di {apu)" per Noi però preferiamo di compire direttamente , per 
il caso nostro, questa riduzione, insieme all'altra che ci fornirà il covariante misto, 
espresso mediante le forme del sistema completo di /, e che eguagliato a zero , 
rappresenterà le condizioni necessarie e sufficienti perchè la quartica si scinda in 
quattro rette. Eseguiamo pertanto il calcolo per n = d. 
Essendo : 
si ha 
p ■> =z i)aja . b^-b . c,-c — 9a/ . h,}h . c^.cj + a,.' . ò,.' . e ' 
onde, supponendo che le d sieno simboli equivalenti alle a,h,c, si ha 
{ilpuf = ^a^^bjc_,-{<lnu) {dbu) {(leu) — dajb,' <;,,{dbu) (dcu)* . 
Il primo si trasforma in 
iJa,.-bJcJ{(!bu) (dcu) [(cau)d^. {dcu)a,, (dac)u_,. \ 
