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Nel termine (5) scambiando a con l, sommando, dividendo per 2 e ridu- 
x^ndo si ha 
(5) = -2(10), 
onde: 
(5) = -|A..r.»,;+2..,./.K_^.* 
Si ha inoltre: 
(6) = 9 .w 
•26 
(7) = - — {de6f [(deM)c^ — {cixC)d^. — (f?cM)e_^.] .p . 
26 
A 
(8) = — 39 (cerf)- (ceM)(/^ [(ceM)d^. + w,. | • /' 
= — 39 . tu ./» + 13 . A . /- . . 
Raccogliendo, cioè sommando (1) , (2) , . . . (8), si ha infine che il covariante 
di Brill, diviso per u.v% ed espresso per i covarianti fondamentali del sistema 
completo della quartica ternaria è: 
(— 30. (0 + 48 . £ ./-f 32 . A . 0) + (96 .5./— 128{A)(t., + ^_ ^ A/- + 11../— 240v^w,/ . 
annullarsi identico di questo covariante misto è condizione necessaria e suffi- 
ciente perchè la quartica ternaria si scinda in quattro fattori lineari. 
§ 18. — Altra forma delle condizioni 
PER LA decomposizione DELLA QUARTICA TERNARIA IN QUATTRO FATTORI LINEARI. 
Nei §§ precedenti siamo partiti dal criterio di Brill; ora vogliamo prendere 
le mosse da un punto di vista completamente diverso , e propriamente dalla pro- 
prietà dell' Hessiano di cui abbiamo trattato estesamente nel § 14. 
Se come abbiamo fatto nella prima Parte di questa Memoria , assumiamo 
la ./ sotto la forma 
(1) ax^ + «Y . 4- 4pi . X, 4- a 
potremo allora ottenere le richieste condizioni sotto la forma di covarianti e inva- 
rianti del sistema delle tre binarie a , p , y, e tal forma mentre perderà il vantaggio 
d'essere invariantiva rispetto al campo ternario, conserverà però sempre l'invarian- 
tività nel campo binario, e propriamente per tutto il gruppo di quelle trasformazioni 
lineari che lasciano inalterata la variabile j:.^, o al più la moltiplicano per un fat- 
tore, e acquisterà a sua volta il gran vantaggio d'essere assai più semplice, e più 
facile ad essere adoperata nelle applicazioni. 
Sappiamo che quando y si scinde in quattro fattori lineari si ha (v. § 14) 
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