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in cui 9 è una forma di 2.° ordine, che potremo porre sotto la forma 
(3) (p = P..V + 2Q,x,4-R, 
essendo P, una costante, o Q, , R, due binarie degli ordini 1 , 2. 
Si sa inoltre (v. § 14) che la (2) è anche sufficiente per la indicata scom- 
ponibilità , purché si escluda il caso che f sia un quadrato perfetto , cioè che la 
quartica rappresenti una conica doppia. Ma in tale ultimo caso devono aversi le 
condizioni necessarie e sufficienti *) 
[ P = 0 , oa — 9y* = 0 , se a 0 
' h = 0 , 3«Y — 2p'=0 , se -( = 0 
onde possiamo dire che le condizioni che troveremo da (2) saranno necessarie e 
sufficienti per la decomposizione di /' in quattro fattori lineari , purché esse non 
equivalgano solo alle (4). 
Sostituendo nella (2) a A il suo valore riportato nel § 9 , e ad /" e ? i va- 
lori (1) , (3) , ed eguagliando i coefficienti delle medesime potenze di a?^ si hanno 
le sette relazioni 
(5) 
aPj = 3ah 
(6) 
(7) 
an^ -f- 6yPj = 12aw -j- 6an — 9^Y 
(8) 
3yQ, -f PP, = 3ati) — 9wY -f 3h^ 
(9) 
«Pj + 8PQ, 4- Gx^i = — + 12//« 
(10) 
«Q, + 2^R^ = Qmtx — 6«p — 3w^ 
(11) 
«R, = 3YÌfc + 3aw — 6p(o . 
*) Le condizioni perchè la quartica / si riduca ad una conica doppia furono considerate da 
Brioschi {Atti AccacL dei Lincei , (2) , t. Ili , 1876-76 , p. 91 ; OjJere Matem., t. Ili, p. 349) però per 
il solo caso di ad^Q e servendosi delle proprietà dell' Hessiano , il che costrinse quell' illustre 
Autore a fare dei calcoli più lunghi, laddove avrebbe potuto ottenere il risultato finale e più com- 
pleto con una considerazione affatto elementare. Se infatti poniamo 
/=(L,V + 2M,X3 + N.)= , 
dal paragone dei coefficienti delle potenze di a;, , otteniamo 
L,- = a , LjM, =0 , 
2M,*+L,N. = 3y , M,N, = p , -X.' = «, 
dalle quali , se a 0 , otteniamo Mj = 0 , e quindi 
P = 0 , aa — 'Jy* = 0 
e se a = 0, otteniamo L, = 0 , donde si ha che y ^ "° quadrato perfetto, e quindi /t = 0 , e 
inoltre 
3oY — 2p* = 0 . 
