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Se poi fosse ^ = 0 , non si può più dedurre = 0 , ma allora la decompo- 
nibilità sussiste in modo evidente , e d' altra parte la condizione p = 0 rientra 
come caso particolare in (29). 
La (29) non può dedursi dalle (17) o (20) per y = 0 perchè queste sono state 
dedotte dalla solita matrice a quattro linee, considerando sempre determinanti con- 
tenenti r ultima linea la quale si annulla per y = 0, che se invece si considera 
il determinante delle tre prime linee di quella matrice si ha proprio la (29). 
Se alla seconda delle (20) sostituiamo la condizione ottenuta eguagliando a 
zero il determinante delle tre prime linee della matrice, e che è : 
2U {Sax — ^P'") -f (4Pw — ah) = 0 
abbiamo un sistema di condizioni che comprende anche il caso di y = 0. 
Concludendo abbiamo cosi : 
Ze condizioni necessarie e succienti perchè la quartica f sia decomponibile in 
quattro fattori lineari sono rappresentate da uno dei seguenti gruppi di relazioni 
fra i covarianti del sistema delle tre binarie « , p , y : 
I 6yA — 2a» — 3aw = 0 ] 
(30) I 9y»i —a(3ì — Q [ « =t= 0 
( 3aA — ISPw + ak = 0 ] 
(31) j a = 0 
( 2 [ 2Yfc -f- Saw -f 2an — 4pa)] [ UaY — 8^' ] + 9a- (4p»i — ah) = 0 . 
A questa ìiltima, se t è diversa da zero, può sostituirsi la relazione più sem- 
plice : 
(32) 2y [ 2Yfc + 'àaw -f 2an — 4^0)] — SaVi = 0 . 
§ 19. — Deduzione delle condizioni relative al caso della cubica ternaria 
scomponibile in tre fattori lineari. complet amento dei risultati di 
Brioschi. 
Sarà bene fare un' applicazione e verifica di queste formole , ed esaminare 
come da esse si possano ricavare quelle trovate da Brioschi e relative alla de- 
composizione della cubica ternaria {Anìi. di Mai., (2), t. VII; Opire Maiem., II, 
p. 138). 
Se in f facciamo « = 0 , in essa si stacca un fattore lineare , e resta 
(1) 0x3^' 4- 6yx, + 4p 
e dalle condizioni precedentemente trovate dobbiamo passare a quelle relative alla 
.cubica (1). Per « = 0 si ha k = 0, n = 0, w = 0, e dalla seconda delle (30) si 
ha y)n = 0 , donde deduciamo m = 0 che comprende anche il caso di y = 0. La 
