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Da (5) e (7) si ha che o k è zero identicamente e allora a dovrebbe essere 
la quarta potenza di q come risulta dalla terza delle (2) , ovvero è 
— a*i = 0 , 
ed eliminando h fra questa e la (7) , si ha che il descriminante di a è zero, onde 
a in ogni caso ha almeno una radice doppia , la quale perciò , come si sa ^vedi 
Clebsch, cit. , p. 162), deve essere doppia anche per k, e quindi, come risulta 
dalla terza delle (2), non può essere che ^, almenochè non sia {yqS' — 
C'è da considerare dunque due casi, cioè o (y^)' = 0 , ovvero « ha per fat- 
tore (['. 
Se (tJ")" = 0 , dalla terza delle (2) risulta daccapo che fra « e k esiste una 
relazione lineare a coefficienti costanti e quindi « è il quadrato di una forma qua- 
dratica. Ma la seconda delle (2) dà 
la quale dice che ot contiene per fattore ; ma dovendo poi essere un quadrato, si 
ha daccapo che essa non potrà essere che q\ a meno di un fattore costante. 
In quanto a r osserviamo allora che, dovendo anch'essa avere per fattore q , 
la sua seconda spinta con « , cioè n , sarà zero , e quirdi dalla prima delle (2) 
si deduce h = 0 , cioè r è , a meno di un fattore costante, il quadrato di q. 
Resta ora a discutere il caso in cui (yq)' sia diverso da zero, cioè t non abbia 
per fattore q , nel qual caso, abbiamo già visto, « deve avere per fattore almeno 
q\ Ma questa ipotesi non è possibile, perchè ponendo : 
risulta 
e quindi dalla seconda delle (2) 
dalla quale si vede che, se (t^)° è diverso da zero, r ba per fattore q\ il che è 
in contraddizione coli' ipotesi che (r^')* sia diverso da zero. 
Il risultato della discussione è dunque : 
Za forma più generale di una ternaria biquadratica 
in cui sia a =j= 0 , che sia scomponibile in quattro fattori lineari e per cui sia zero 
V Hessiam di ^ è quella del tipo 
in cui q sia una forma lineare, e c,c',c', Steno costanti. 
Atti — Voi. XII— Serie 2"- N." 13. 
