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La f è così diventata, ponendovi per aeri loro valori : 
(12) /=5'(6cx3-4-4^x,+ (f) 
e il primo membro di (11) è 1" Hessiano della ternaria quadratica 
«ex,' 4- 4//X3 -f 9 
e quindi il suo annullarsi corrisponde alla scissione di questa ternaria in due 
fattori lineari ; così la / resta effettivamente scomposta in quattro fattori lineari, 
di cui due coincidenti. Naturalmente la (12) comprende ciò che si ha dalla (9) 
per a-~^. 
Resta a considerare il caso di = 0 ; allora l'ultima delle (31) dà 
donde si ha che deve avere per fattore y , e quindi , se questo non è quadrato 
perfetto, cioè se ^ rp 0 , « deve avere per fattore y : 
e perciò 
e, adoperando i valori di k e n calcolati nel § 18 per il caso in cui sia a = Tin, 
si trova (rjri)' = 0 cioè ri deve essere un quadrato perfetto, ti = 9', onde ./ avrà la 
forma 
Questa forma non è compresa in (12) perchè r non è quadrato. 
Se poi è A = 0 , poniamo r — e si ha : 
equazione simile a (10) , solo priva dell' ultimo termine. 
Collo stesso procedimento tenuto di sopra si ha perciò che « = q". ? e che 
(99)- = 0 cioè 9 è un quadrato perfetto ; si ha dunque ancora la (13). Possiamo 
conchiudere : 
Se a = 0 la forma più generale della biquadratica ternaria avente le indi- 
cate proprietà è la (12) in cui i coefficienti soddisfanno a (11), omero la (13). 
E riunendo col risultato precedente abbiamo infine che : le forme piH gene- 
rali delle biquadratiche ternane aventi le richieste proprietà, sono la (9) 0 la (12) 
i cui coefficienti soddisfino alla (11), ovvero infne la (13). 
Naturalmente questo risultato potrebbe trovarsi anche per altre vie, ma noi 
lo abbiamo voluto dare per mostrare una applicazione delle formole date nel § 18. 
Indipendentemente dal risultato parmi che è di per sé interessante il vedere la 
maniera colla quale abbiamo adoperato, con svariati artifizii, le suddette formole 
per dedurne la soluzione del problema. 
