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§ 21. — Condizioni di decomposizione della quartica ternaria in quattro 
FATTORI lineari DI CUI TRE RAPPRESENTINO RETTE CONCORRENTI IN UN MEDE- 
SIMO PUNTO. 
Alle condizioni del § 18 bisognerà aggiungerne in questo caso altre. Ci ser- 
viremo allora di quanto abbiamo dimostrato nel § 14 , che cioè nel caso indicato 
nel titolo, il rapporto fra 1" Hessiano e la forma /, è una quadratica scissa in due 
fattori lineari. Ma tale quadratica è quella che nel ^ 18 è stata indicata con 
(1) P,.V-4--2Q.., + E, , 
onde bisognerà esprimere che questa si scinda in due fattori lineari, cioè che il 
suo Hessiano sia zero. Calcolando questo Hessiano col formare il determinante 
delle derivate seconde, si trova facilmente : 
(2) P^fE,E',)'-2(:E,Q,)^ = 0 . 
Intanto nello stesso § 18, per a =p 0 si trova : 
3 
P, = 3// , Q, = Gw , E, = — {iaw + 2(m — dhf) , 
e, per effetto delle (18) dello stesso § 18, le quali sussistono sia o no ^ zero, pur- 
ché « 4= 0 , il valore di R, può ridursi a 
9 
E, = 3tt' /-Y 
a 
dipendente solo dalle binarie 3 e y- 
Con questi valori di P, , Q, , R, , calcoliamo (2) ; si avrà un invariante del 
sistema delle sole due binarie di ordini più bassi 3 e t- 
Si ha : 
(3) h {(wwf — — /» (wy)- -I- ^' ] _ 8 Uwmy — - h (rm)* 1=0. 
a a a 
Ora teniamo presente il sistema di una quadratica e cubica considerato da 
Clebsch (Op. cit. , p. 208 e seg.) e osserviamo che il (?vmy [che corrisponde a 
quello dal Clebsch indicato con L *)], si esprime mediante gli altri invarianti 
colla formola 
(«;,»)' = Y I h{ivwY — [ixwf ]* I ; 
si ha così : 
*) Per effetto della forinola (7) p. 210 dell'Opera di Clebsch. 
