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Intanto colle apposizioni (4) si trova (v, § 18) 
H = -1 /iti + -i (tiY)' • r . 
onde può scriversi 
3 3 3 , 
1^ = — Y + Y " + ^ì" (^ì^^'f • 
Ma facendo la seconda spinta del precedente valore di w su y si lia 
W-|-MtiY)S 
onde possiamo scrivere (se h 0) 
3 1 
Kj — :;- • — (4/(w — 4An — 3 {w(f • y) • 
8 il 
Siamo così riusciti ad esprimere P, , Q, , R, mediante direttamente le binarie 
a . ?i , Y , mentre che prima ci si erano presentate espresse solo mediante è , tq. 
Sostituendo i valori trovati , nella (2) , e riducendo si ha : 
16^' \{wwf + {nnf — 2(wn)*] + 
(6) 
4- // [ 33 \{w{f — 24 {w{f {w{f — 8 (^mwf — 8 {mnf ] — 6 («y)* (^Y)* = 0 • 
Se poi è A— 0 non occorre, oltre le (31) del § 18, altra condizione, perchè 
tre delle quattro rette in cui si scinde la quartica passino per un punto, giacché 
allora due delle rette coincidono, come si vede da (5). Del resto questo caso pos- 
siamo intenderlo incluso in (6) perchè per ^ = 0 , dalle (31) del § 18 risulta 
m = 0 , e quindi la (6) è soddisfatta. 
Abbiamo dunque : 
Se è a = 0 le condizioni necessarie e sujicienti perchè f si decomponga in 
quattro rette di cui tre passino per uno stesso punto, sono, oltre le (31) del § 18, 
anche la (6), qui di sopra segnata. 
S 22. — CONDIZION'I DI DECOMPOSIZIONE D15LLA QUARTICA TERNARIA 
o 
IN QUATTRO FATTORI LINEARI DI CUI DUE EGUALI. 
Sappiamo che in questo caso (§ 14) la quadratica 
di cui abbiamo trattato nel § 18, deve essere un quadrato perfetto, e perciò deve 
essere 
- P,R, = 0 
la quale, coi valori trovati nel § precedente, diventa (se « =t= 0) : 
(2) 4a»t* — 7( {aw — 3Ay) = 0 , 
