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Tou prend AB comme unité de longueur. Lorsque n croìt indófinimeut, L.^ tend 
vers une ligne i, qui est la courbe de von Kocli. 
Peut-on dessiner cette courbe? Dessiner une courbe piane c'est marquer, en 
la rcduùaìif autant qiC on le peiU, la partie du pian qui renferme les points de 
la courbe. Une exécution de plus en plus soignée ne pourra nous donner qu'une 
imago de moins en moins grossière de la courbe; mais ce sera toujours une ima- 
ge, faite pour nous montrer la courbe matérialisce, la courbe ideale ne compor- 
tant pas de représentatiou géométrique visible. Nous matérialisons babituellement 
les courbes douées de tangentes en nous les représentaut comme des bandelettes 
de papier aux bords par ali He s , extrèmement rapprocbés; et nos tire-lignes ont été 
constniits tout justemeut pour tracer ces deux bords , limites de la région occupée 
par la courbe. Une courbe sans tangentes ne saurait ótre dessinée de cette ma- 
nière: mais cela n'empèche pas qu'on puisse en avoir une représentatiou gra- 
phiquc par une limitatiou convenable de Tespace qui la renferme. On y parvient , 
dans le cas de la courbe i, en remplacant le trait uniforme habituel par un trait 
à bords non parallèles, aux renflements périodiques, et cela sans se donner la peine 
d'inventer (comme on le pourrait) un tire-ligne spécial. 
Kemarquons d'abord que la ligne L,^, se trouve toujours, par construction. 
à gauche de L.„. lei, comme dans la suite, on eutendra constamment par gauche 
et droite d'une ligne quelconque, passant par A et B, la gauche et la droite d'un 
observateur qui se déplacerait sur la ligne, en allant de A vers B. Cela posé, si 
l'on voulait découper une bande de papier reufermant i, on devrait commencer 
par enlever tout le demi-plan à droite de L„, on supprimerait ensuite ce qui reste 
à droite de L, , c'est-à-dire le triangle CDE ; etc. On tendrait de la sorte à se rap- 
procher indéfiniment du cóté droit de i. D'autre part il est aisé de voir que, 
par raison de similitude de triangles, il y a dans tonte ligne toujours de 
nouveaux sommets qui tombent sur AC et BC, mais que tous les autres sommets 
tombeut à droite de la ligne L, = ACB. On peut donc supprimer aussi tout ce 
ce qui se trouve à gauche de cette 
ligne; puis, en réfléchissant que i se 
compose de quatre parties égales , con- 
struites sur les còtcs de L, corame la 
courbe entière a été construite sur , 
on voit qu'on peut encore enlever les 
parties centrales des triangles ADC , 
CEB. ce qui revient à appliquer {à droite) la construction fondamentale de von 
Koch à la ligne L,. Celle-ci se trouve alors remplacée par une ligne L, , dont 
on peut semblablement déduire une ligne L, ; etc. Par la construction de cette se- 
conde sèrie de lignes polygonales il est clair qu'on s' avance indéfiniment vers le 
còti' gauche de i. Cette courbe est donc la limite des lignes L„ , L, , , L, , ... ; 
mais il importe de remarquer qu" elle est toujours cojnprise cntre deux lignes consécu- 
tivcs. Nous représenterons dorénavant par T„ la région limitée par les lignes et 
L„^,: c'est l'ensemble de 2" triangles isoscèles, ayant leurs bases sur L,^, les autres 
cótés sur L^^,, et tous leurs sommets sur i. Remarquous encore que les lignes 
se succèdent d" après une loi unique: que n soit pair ou impair, L„ a toujours 
