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l-f-2' sommets, et chacuu de ses 2" còtés a la longueur (1^3) ". La secoude sèrie 
de lignes polygonales coustitue dono un complément naturel de la première. D'aii- 
leurs les deux espèces de ligaes ne diffèrent pas essentiellement Fune de l'autre; 
car toute ligne d une espèce se compose de deux lignes de l'autre espèce. par- 
courues dans le sens contraire, comme on le voit sans peine dans les deux fi- 
gures qui précèdent. C est en réunissant ces deux figures complémentaires, c'est-à- 
dire en construisaut ensemble les lignes des deux espèces, qu'on est amené à rem- 
placer la construction de von Koch 
par la suivante. qui présente de nom- 
breuses facilitations au point de vue 
de l'exécution graphique. On part d'un 
triangle isoscele ABC , ayant les an- 
gles à la base égaux à 30^: c est la 
région , qui renferme la courbe eu- 
tière. On élève par C les perpeudiculaires aux cótés, et Ton divise aiusi ABC en 
trois parties équivalentes On considère les deu\- parties latérales ACD , BCE ^^cou- 
stituant T,). qui sont . comme ABC, des triaugles isoscèles , ayant à la base 
des angles de 30". En opérant sur ces triangles comme sur ABC on obtient 'juaù-^ 
triangles (T,), puis hì'it TJ; de. Lorsqu'on passe de ABC aux deux triangles, 
en supprimant la partie centrale. Taire de ABC se trouve réduite aux Par 
conséquent, si Ton pousse la division jusqu'à ce qu'on obtient 2" triaugles (TJ, 
il se trouve que ceux-ci occupent une aire égale aux ^ de ABC, airr qui 
tcnd vers zero lorsque n croìt indéfiniment. Il suffit donc de prendre n asscz grand 
pour réaliser une représentation graphique satisfaisante de cette courbe: 
Ce qui doit surtout nous frapper dans la courbe de von koch c'est qu '-Ilr 
est dam lovte.s scs imrties scmhìahle à eUe-mème. Pour essayer de se la hgurer 
d'une manière aussi complète que possible il faut penser que dans c uicun des 
triangles de la figure ci-dessus on encbàsse la figure toute entière, réduite dans 
un rapport convenable: pui.s .ue dans chaoun des triangles réduits on insere de 
nouveaiVtoute la figure, et ainsi de suite, à P infini. Cet emboitement .sans hn 
d-une figure en elle-méme nous donne bien l'image de ce que Tennyson ap- 
pelle, quelque part, P infini vcrs rùitérìear, qui est, après tout, le seu uitmi 
qu'il nous soit donné de concevoir dans la Nature. C'est cette simihtude o.itre 
le tout et ses parties, mcme infinitésimales , qui nous porte à considerer la courl>o 
