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de voii Koch comme une ligne vraimout raerveilleuse entro toutes. Si elle était 
douée de vie, il ne serait pas possible de 1 anéantir sans la supprimer d'emblée, 
car elle renaitrait sans cesse des profondeurs de ses triangles, comme la vie dans 
r Univers ' 
Par le seul fait de la similitude entre i et ses parties on peut s'expliquer 
aisément quelques-imes des propriétés trouvées par von Koch. Il est d' abord pres- 
que évident que la longueur de la courbe, entre deiix poinis quelconques, est infi- 
nte', c'est ce qu'il suffit de démontrer pour l'are AB. Si la longueur de cet are 
pouvait Otre mesurée par un nombre fini l, les longueurs des arcs AC et CB se- 
raient mesurées par //K3, d'où il suit qu'on aurait (2 — 1''3)/=:0, c"est-à-dire 
^ = 0, ce qui est absurde, puisque />> 1. Dono / ne peut ètre fini. Quant à Taire 
(7 comprise entre Tare AB et sa corde, il suffit de remarquer, pour la calcnler, 
que Ics aircs analogues pour les arcs AC et CB sont égales à ^/\o, et qu'elles 
coustituent avec o l'aire 1^3/12 du triangle ABC. L'aire cbercbée est donc les 
de celle de ABC. c'est-à-dire cr=|/3/20. 
.le vais maintenant m occuper de la représentation arithmètiqiie des points 
de i en emplovant le sjstème de numération à base 2. .le remarque d' abord que 
les 2" triaugles . constituaut la région T,, . peuvent avoir douze orientations difFé- 
rentes, défiuies par l'angle de la base avec AB. Cet angle sera un multiple pair 
ou impair de 30° suivant que n est pair ou impair. .Te dirai, pour abréger, que 
le triangle est pair ou impair, respectivement. Tout triangle pair donne naissance 
à deux triangles impairs, dout j" appelle 7;r<??;«'er celui qui se trouve à [/anche, 
second celui qui se trouve à droite d'un observateur, placò à l'intérieur de la 
partie centrale, et tournant le dos à la base. Au contraire tout triangle impair 
donne naissance à deux triangles pairs, dont il convient d appeler ^>rew/(?r celui 
qui est à droite, second celui qui est à gauche d'un observateur situé comme 
on vient ce le dire. Il arrivo ainsi , lorsqu'on partage un triangle de que le 
premier des deux triangles latéraux est toujours celui dont la base serait par- 
courue la première par un observateur qui se rendrait de A en B le long de L,^,. 
Cela posé, distinguons entre eux les triaugles (impairs) ACD , BCE , en dési- 
gnant lo premier par 0, le second par 1; puis, lorsqu'on partage à son tour cha- 
cun de ces triangles en deux triangles (pairs), distinguons ces derniers entre eux 
en écrivant 0 pour le premier triangle, 1 pour le second, après le chifi^re du trian- 
gle qui leur a douné naissance. Si l'on continue de méme jusqu'à un triangle 
quelcouque, ayant ses còtés sur L,,, et L,_^,, on le trouve représenté par une suc- 
cession de n chifìres 0 et 1 , exprimant l'un des nombres 0,1,2,3 2" — 1 dans 
le systòme binaire. De cotte facon les 2" triangles, qui constituent la région T^, 
se distinguent les uns des autres, et il est aisé de voir qu'ils se trouvent nu- 
mérotés dans l'ordre mème où ils seraieut traversés par un point, qui se rendrait 
de A en B en parcourant la courbe. Il nous convient de représenter chacun de 
ces triangles par une cote x, qu'on trouve en posant un 0. suivi d'une virgule, 
devant les chifFres obtenus. La cote du triangle occupant la v*"'* place dans la 
région T„ sera donc égale au quotient de v — 1 par 2" ; et il est évident qu'elle 
conserve sa valeur pour le premier des deux triangles produits par la suppression 
de la partie centrale, tandis qu elle s'accroìt de i 2 "^' pour le second. Les deux 
