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nouveaux triangles oiit dono leurs places marqiiées, dans la nouvelle succession 
de 2"^' triangles, au moyen de cotes égales aux quotients par 2"*'' des excès de 
leurs numéros d'ordre 2v — l,2v, sur l'unité. On s'explique ainsi la conserva- 
tion de la loi exprimée par Tégalité t = ^^-^. De méme, pour représenter un 
point quelconque de j'écris, après un 0 suivi d'une virgule, le chiffre 0 ou 
le chifFre 1 suivant que le point se trouve dans le premier (ACD) ou bien dans 
le sccond triangle (BCE). J'écris ensuite 0 ou 1, à la deuxième place après la 
virgule, selon que, dans la division suivante, le point considerò reste dans le 
premier ou dans le second triangle, respectivement. En continuant de la sorte, 
iudéfiniment , on parvient à représenter le point par un nombre de l' intervalle 
(0.1). Réciproquement à tout nombre i de cet intervalle, écrit dans le svstème 
binaire, correspond un point de i, qu'on peut construire en faisant successive- 
ment Ics opérations indiquées par les cbifl'res après la virgule. Il suffit, en efFet. 
de prendre d'abord un seul chifFre, puis deux, puistrois, etc, pour obtenir une 
succession de nombres t, , , x, , . . . , cotes de triangles de plus en plus petits . 
qui se resserreut iudéfiniment autour du point défini par le nombre ^ = limT_. 
Soit mainteuaut t la cote de lun des triangles qui constitueut T^. On obtient 
la cote t de tout point situé dans ce triangle en écrivant, au basard, uue infi- 
uité de cbiffres 0 et 1 après les cbifFres de t. Il en résulte que les cotes de tous 
les points du triangle sont comprises entre f et t -f , de sorte qu'elles tendent, 
avec T, vers uue limite unique, lorsque n croìt iudéfiniment. On parvient au point 
i! = T en prenant constamment le premier triangle dans cliaque division, ce qui 
conduit évidemment au premier somraet, c'est-à-dire au sommet par lequel on pó- 
nèire dans le triangle en parcourant i: de A vers B. On a = t + — à Tautre 
extrémité de la base (premier sommet du triangle siiivani) , et t — i-\-^^ au 
troisième sommet (opposé à la base), qui devient à son tour, lorsqu'on passe de 
T , à T ,^, , le second sommet du premier triangle et le premier du secoud trian- 
gle. On voit par là que les sommets de tonte ligne L„ sont représentés par les 
nombres 0 , 1 , 2 , 3 , ... , 2" , divisés par 2" , et qu' ils se suivent dans l'ordre méme 
indique par ces nombres. 
Dans tout triangle, de cote t, les cotes de deux points associés, c'est-à-dire 
symétriques par rapport à la médiatrice de la base , sont liées par une relation 
fort simple : leur moyenne arithmétique est égale à la cote du sommet opposé à 
la base. Farmi toutes ces couples de points il y a lieu de signaler celles qu'on 
obtient en prenant constamment les triangles à gauche, dans les divisious succes- 
sives, ou bien constamment les triangles à droite, et qu'on pourrait appeler les 
póles du triangle: leurs cotes divisent en trois parties égales l' intervalle , t + — ^ 
entre les cotes extrémes des points du triangle. Pour en connaitre la positiou dans 
un triangle quelconque il sufifit de savoir comment les pòles de AHC(^ = '/j , t='/^) 
sont situés dans ce triangle. D' après la constructiou iudiquéo il faut d'abord, 
pour atteindre le premier pòle de ABC, élcver par D la perpendiculaire à AB, 
jusqu' à la rencontre en P, avec AC. Il faut ensuite élever par P, la perpendicu- 
