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laire à AC, jusqu'à la rencontre avec CD, en . On peut ainsi construire, en 
coutiniiant indéfiuiment, une succession de points P, , P, , P.^ , ... , tels qua P^_^, se 
trouve toujours aux du segment P„_2P„_j, sur la perpendiculaire élevée par 
P„ à P„_3P„_j. Ces poiuts tendent évidemment vers le pòle cherclié P. Or il est 
clair que la ligne polvgonale BACDPjP, . . . , ayant tous ses angles égaux à 30°, 
et ses còtés décroissants en progression géométrique (de raison l/KS), est in- 
serite dans une spirale logaritlimique , dout le pòle est P. On sait d' ailleurs 
que tout cóté de la ligue est vu de P sous un angle supplémentaire de 30°. Il 
en résulte que le point P appartient à 
la circonférence, qui touche les còtés 
de ABC aux extrémités de la base, et 
qu' il se trouve aussi sur les circonfé- 
rences analogues, relatives aux trian- 
gles CAD,DCP, , etc. Nous avons là 
beaucoup plus qu'il ne faut pour la dé- 
termiuation de P et de sou associo Q, et pour trouver aussi d'autres propriétés 
de ces points, qu'on pourrait utiliser pour leur construction. Ainsi. par exemple, 
il est facile de voir que P et Q se trouvent sur les médianes issues de B et de 
A, et qu ils les partagent dans le rapport de 1 à 6, à partir des còtés. Il est 
d' ailleurs aisé de trouver d'autres spirales logarithmiques , rencontrant i en une 
infinité de points , et qui s' enroulent asymptotiqueinent autour de P. Il suffit 
de considérer P comme limite des points P^ à indice impair ou pair, séparé- 
ment, pour obtenir deux autres lignes poh'gonales BCPjP^ .. . , ADP^P^ .. . , ayant 
*tous leurs angles égaux à 120°, et leurs còtés décroissants en progression gèo- 
métrique, de raison Vj. On peut également considérer P comme pòle des spirales 
défiuies par les lignes polygonales rectangidaires BDPjP^ . . . , AP,PjP. . . . , dont 
tous les còtés sont vus de P sous un angle droit , ce qui pcrmet de retrouver que 
P est la projection ortbogonale de D sur BP, (médiane de ABC, issue de B), ou 
blende P^ sur AP^ (médiane de CAD, issue de A); etc. Enfin il est évident que, 
si Fon prend de six en six les sommets de la figure initiale BACDPj . . . , on 
obtient des droites. Ces sommets sont donc distribués sur six droites, qui se croi- 
sent au point P. Après avoir construit les pòles P et Q de ABC , on obtient ra- 
pidement ceux des triangles ADC et CEB en adjoignant à P et Q leurs associés 
dans ces triangles ; puis , lorsqu' on passe de T, à , on trouve semblablement 
quatre auties pòles, associés aux précédents dans les quatre triangles dont se com- 
pose T„ ; et ainsi de suite , indéfinimeut. De points tels que P on peut donc en 
avoir tant qu' on en veut sur tout are de i , si rapprocbées que soient , dans le 
pian , les extrémités de cct are ; et il est sans dollte remarquable qu' on puisse 
toujours divisar 1" espace angulaire , autour de chacun d' eux , en douze régions 
égales , par des droites qui rencontrent la courbe en une infinité de points. Du 
reste ceux-ci ne sont pas seulement des sommets; on verrà sous peu qu' il y a aussi, 
sur les six droites , une infinité d' autres 
D' après ce que nous avons vu plus haut , la correspondance univoque exi- 
stant entro les points M de la courbe de von Koch, et les points / du segment 
rectiligne AB (01), est tei !e que deux points, infiniment voisins sur ce segment, 
