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correspondent à deux points de infiniment voisins clans le pian, quoiqiie infi- 
iiiment eloignés sur la courbe. Celle-ci est donc une courhe conlimie, et il doit 
étre possible d' exprimer les coordonnées ^ , y de tout point M en fonction conti- 
nue de t. Je me propose de d^iterminer ces coordonnées en supposant connus les 
cliiffres «, ,a^,a^,... du nombre t, écrit dans le système binaire. Soient k,z, 
k', z les affixes des points C , M , et de leurs conjugués C, M'. Soient , plus gé- 
néralement, l' afBxe du point M,, , défini par la valeur Oja^^^a^^^a^,... de t, et 
2„ Taffixe de son conjugué. Je suppose d'abord «, = 0. Dans ce cas M appartient 
au triangle ACD , et les opérations à faire sur ce triaugle, pour trouver M , ne 
diffèrent pas de celles qu"on devrait faire sur ABC pour trouver le conjugué de 
M,. Or on transforme le triangle ABC en ACD en multipliant par k les affixes 
de tous ses points. Il en résulte z = kz\. Si «, = 1, il suffit de considérer le 
point défini par 1 — ^, dont l'affixe est évidemment \—z. On a donc l—z'=:k{\ — zj, 
d'où z~k -\- lìz ^. On peut réunir les deux résultats en une seule formule 
en convenant de prendre h,^^ — k, cu bien =: lì, suivant que n + oc^ est impair 
ou pair. Lorsqu'on passe de M à la relation précédente devient z^^ka.^ + lìfi, , 
et Ton en déduit :\ = -j- k^z^ . Donc 
Cette relation est déjà suffisante pour le calcul des coordonnées d'une infinité de 
points renaarquables de i, tels que ceux qui correspondent aux valeurs 
1 1 2 
— = 0,010101010... , — = 0,001100110... , — = 0,011001100... 
3 5 5 
de i. Ainsi, par exemple, si Ton veut les coordonnées du premier de ces points 
(premier pòle de ABC) , on doit prendre a^ = {) ,a^ — \ ,ìi^ — k,~k ,z^ — z , et 
l'on trouve 
ìz^lì kk' k + j 
5 |/J 
d'où .2? — , y = . Pour connaìtre la position du point défini par la cote V, 
il suffit de faire a^=a^=zO ,k^=k , k,=:zk' ,z,=l — z' pour trouver ^=7^(1 — z). 
et, par suite, ^' = 7^(1 — z), d'oìi z = ^, c'est-à-dire ,ii/ = 0. De méme, 
pour avoir les coordonnées du point défini par la valeur '/^ de i, on doit prendre 
(x^=:0 , (x^ = l . k^ = k, = k , z^ = l — z', ce qui donne z = ^ -\- k'-{ì — z') , puis 
z' = ~-^k'\l — z], d'où 2 = 7^(1+3^^), et enfia x — ^,i/=^. 
Pour un point quelconque on trouve 
z = ka^^ 4- k^k'a, -f fc,fc,fca, + fc.fcjfcjAr'a^ -f . 
