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On voit (Ione que z dépend exclusivement des nombres qui marquent le rang des 
chiffres 1 dans la représentation binaire de t. Si l'on désigne par ji , lorsque % 
e&t pair, l'excès dii nombre des chiffres 1 de rang pair , parmi les chiffres qui 
précèdent le n^'"% sur le nombre des chiffres 1 de rang impair, ou bieu, lorsque 
n est impair , le méme excès , augmenté do , on trouve facilement que le n^"^' 
terme de la sèrie précédente est égal , pour «^ = 1, à {k1i)-[k/k'f = e ^ /{\^''ò)'\ 
Donc 
la somme devant ètre étendue à toutes les valeurs de n , pour lesquelles on a 
« ^ =: 1. Si , , n.^ , . . . sont ces valeurs , ìa valeur du nombre ja , correspondant 
à n,. , est 
fA,. = (- 1) ' +(- 1) ^ -f- • + (- 1) + ^^^-^ , 
et l on peut écrire, avec plus de précision , 
Tra nu, . 
t—co COS r^co Sm 
T . y=j sr- 
kiy'iy ,tt(|/B)' 
La continuité de ces fonctions résulte du fait méme qu'elles sout représentées par 
des séries convergcntes , dont le r''"'" terme ne dépend, comme on voit, que des '/* 
premiers nombres de la succession , , , . . . ; car toute variation infiniment 
petite de t ne peut altérer que les nombres infiniment éloignés dans cotte succes- 
sion, et, partant, elle ne peut atteindre que les termos infiniment éloignés (infi- 
niment petits) dans les séries expi-imant x et y. Il est vrai que, si la succession 
^^, , , , . . . s' arréte à un cei'tain nombre n , ou bien , au contraire, si ses ter- 
mes finissent par étre consécutifs dans la sèrie des nombres entiers, il n'est pas 
possible de climiniier ou bien à: aiigmenter , respcctivement, le nombre correspon- 
dant si peu que ce soit, sans que Taltération dea chiff'res remonte vers la vir- 
gule, jusqu'au chiffre de rang n. Mais le deux circonstances mentiounées ne se 
présentent que pour les valeurs de t (cotes de sommets) susceptibles de deux re- 
présentations différentes dans le sjstème binaire. EUes se présentent alors simul- 
tanéraent, de sorte que. le point correspondant z- étant uniqiic, on reste libre d'é- 
crirc chacune de ces valeurs d'une manière ou de l'autre, en remplacant n par 
+ 1 , u -1- 2 , w -f- 3 Cela revient à considérer le point comme sommet de 
l'un ou de Tautre des deux triangles (pi" il réuait. La continuité de z est donc 
une conséquenco de son unicité. Celle-ci résulte d'aiileurs des considératious géo- 
métriques précédentes ; mais on pourrait en trouver la preuve directe dans l'exa- 
raen des deux séries ci-dessus, comme je le montrerai plus loin au moyeu d'une 
sèrie plus simple. 
Une seule application va me suffire pour raontrer l'utilitè des dernières for- 
