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mules. .le me propose de chercher totis les points de i, sitaés sur AB. La question ne 
semble pas facile, au premier abord, puisqu'il s'agit de trouver tons les sjstèmes 
de nombres n^,n,^,n. , tels que y = 0. Cependant, si Von réfléchit que dans 
les opéi-atious à fa ire sur ABC pour atteindre un point de AB on n'est pas tou- 
jours libre de choisir indifféremmeut le premier ou le second triangle, on saper- 
90it que les conditions nccessaires et suffisantes pour que le point reprósentó par 
la valeur 0 , « ... de tombe sur AB sont «, = a, , a, =: , «. = «. , \\ 
faut douc que soit impair, que soit égal à ^i.+ l, que soit impair, que 
^h = '^^ + ^' 6t. par suite, que la cote du point ait la forme 
, m, , , . . . étant des nombre-^ eutiers quelconques , positifs et croissant^ , eu 
uombre limite ou illimitó. Or en faisant n^-\-l=n,~2m^ , n.,-\-ì = )i,=z2m , , ("te, 
on trouve [a,. = '/, pour /■ impair, et — 1 pour r pair; puis 
c" est-à-dire 
^ = 2(-4- +-4- +-4r + •••) ' .v = 0- 
On pourrait coustruire une infinite decourbes, telles que .i, en oprrant sur 
d' autres figures comme on l'a fait sur le triang-le ABC. Il faut cependant, à 
cbaque division, avoir soin d'enlever une partie de la figure, de manière que 
r aire de la partie restante tende vers zèro , sans quoi on trouverait une de ces 
conrbcs continues, occiipant vnc aire, dont on doit le premier exemple à M. Pea- 
no *}. Il Y a donc une liaison étroite entre les deux questions. On dirait que la 
courbe de von Kocli, pai le fait d' avoir une longueur infinie entre deux quel- 
conques de ses points, moutre déjà sa tendance à occiiper une aire. Il suffit d'ail- 
leurs de ne pas contrarier cette tendance par la réduction continuelle des aires 
successives, pour voir paraitre une courbe de Peano au lieu d'une courbe de von 
Kocli. Prenons, par exemple. un triangle isoscèle ABC, rectangle en C, et par- 
tageons-lc en deux triangles égaux, au moyen de la mediane CD. En opcraut 
de mème sur les triangles ACD , BCD , on trouve quatre triangles, puis liuit, etc. 
On partage ainsi ABC en 2" triangles égaux. semblables à ABC, n pouvant (f'tre 
aussi grand qu'on le veut. Supposons qu'on numérote ces triangles comme on a 
fait précédemment pour les triangles constituant , et imaginons un point M, 
qui passe du premier au dernier triangle en traversant tous les triangles inter- 
médiaires, dans l'ordre iudiqué par leurs cotes. Si, lorsque n croit , le point M 
est obligé de refaire cbaque fois son chemin de A vers B, sa route tendra, pour n 
infini, vers la courbe cherchée, qui passera évidemment par tous les points de ABC. 
*) Mathematiche Annakìi , t. 3G , p. 157 (Peano): t. 38, p, 469 (Hilbert). 
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