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On détermine cette courbe avec la plus grande facilitò au moven du système de 
coupiires, représenté dans la figure ci-contre. Après avoir coupé le triangle ABC 
suivant la mediane CD, à l'exception du point C, on 
opère de mcme sur les deux triangles obtenus, puis sur 
les quatre nouveaux triangles, et ainsi de suite. Ces 
coupures peuvent étre considérées aussi comme autant 
de cloisons, dans une chambre triangulaire, qui em- 
péchent le point de passer d'un triangle à l'autre à 
travers le coté commun. Il est clair que la détermi- 
nation géométrique de la ligne iuconnue tend par ces opérations, répétées à l'in- 
fiui, à devenir parfaite. On verrà sous peu que la détermination analjtique n'est 
pas moins simple et facile. 
Remarquons d'abord, pour nous rendre compte de la manière dont la courbe 
remplit l' aire ABC , que si l' on opère avec des ciseaux sur un triangle de 
c papier, et que 1 on tire ensuite la figure par 
les deux bouts , A et B , on voit paraitre une 
sèrie de triangles isoscèles égaux , dont les 
bases peuvent étre alignées sur une droite. 
On peut développer autrement , dans le pian, 
la sèrie des triangles, par exemple en n'ou- 
vrant que fort peu les fentes produites par 
les coupures; mais c'est pour une ouverture 
de 30° que la figure obtenue rappelle lo plus, dans certains détails, la courbe de 
von Kocb. Un procédè analogue, qui ne difFère pas essentiellement du procèdé 
employé par M. Hilbert dans sa note des Mathe- 
maiische Annalen , permet de développer un carré en 
une file de carrés égaux , en rendant visible , autant 
qu' il se peut, une courbe qui tend à remplir tout le 
carré. L'opération fondamentale à faire se compose de 
trois coupures : la première allant du milieu A d'un 
cóté au milieu B du còté opposé, ces deux points devant 
étre exclus; la deuxième depuis le milieu D dun autre 
cóté jusqu'au centre C; la troisième depuis C, exclus, jusqu'au milieu E du qua- 
trième còté. Ces coupures doivent étre répétées sur les carrés de plus en plus petits 
qu'on obtient, en opérant de la manière iudiquée dans la figure ci-dessus. 
Je reprends la courbe qui remplit le triangle ABC. Pour tout point i du seg- 
ment ntcAiligne AB on a un point [x , y) de Vaire ABC, dont la position est fixée 
au moven de deux séries , tout à fait semblables à celles qui ont été trouvées plus 
haut pour la courbe de von Koch. 11 faut seulement tenir compte du change- 
ment de position du point C, dont l'affixe est k 
kk! = Vi > V''^ = trouve 
= e VK2, de sorte que 
