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che V qualunque di essi hanno un punto comune e per un punto arbitrario di Sy ne pas- 
sano V. 
Dinotiamo con S, una retta fissa comune a v — l determinati spazi ©^_,, cosicché 
per ciascun suo punto passa un solo 0^_, variabile. Gli spazi 0^_, passanti [x r un dato 
punto , di 2^, tagliano in v punti che chiameremo le imugini di e (pieste ima- 
gini determinano completamente la posizione di Mg in 2^. Cosi risulta adunque stabilita 
una corrispondenza univoca fra i punti di 2^ ed i gruppi di v punti arbitrari della retta S^. 
Il luogo di un punto per il quale passano X4- l spazi 0^_j coincidenti insieme è la 
sviluppabile a v — X dimensioni della curva A^. Tale sviluppabile è dell'ordine (X 4- I) 
(v — X) e delle imagini di ciascun suo punto ve ne sono X-f-l coincidenti insieme. La 
CUI va è il luogo di un punto per il quale passano v spazi 0^_j coincidenti, per cui essa 
può dirsi rappresentata univocamente, punto a punto, sulla retta S^. 
2. Nella S, sia data un'involuzione di grado v e di specie ?n. Ai gruppi di essa cor- 
rispondono, in 2 , i punti ili un luogo , ad m dimensioni. Ora, gli spazi 0^_j pas- 
santi per 7?» punti presi ad arbitrio in , si tagliano secondo uno spazio lineare a v — ??i 
dimensioni, il quale non può avere in comune con R,^ che il punto corrispondente di 
quel gruppo, dell'involuzione, che è determinato dagli m punti considerati. Segue da 
ciò che R^ è uno spazio lineare. Viceversa, si vede facilmente che ai punti di uno spa- 
zio lineare ad m dimensioni, dato in 2^, corrispondono, sulla retta R^ , i gruppi d'una 
involuzione di grado v e di specie ?n. Il numero di queste involuzioni, nella S^, e dun- 
que oo<'>'-^i)<v-m) e ciascuna di esse è determinata da m-{- 1 qualunque de' suoi gruppi. Si 
conclude pertanto che: 
Ogni involuzione di grado ^ e di specie u) , nella linea reità, è razionale, cioè i 
suoi gruppi sono rappresentabili univocamente sui punii di uno spazio lineare ad m dimen- 
sioni. 
Uno spazio lineare R^ e la sviluppabile a v — m dimensioni, della curva A^, hanno 
{m-\-\){^ — m) punii comuni (n. 1), epperò: 
Un involuzione di grado v e della specie m, in una retta, possiede (m -|- 1) (v — m) 
gruppi in ciascun de' quali m + 1 punti coincidono insieme. 
3. Da quanto precede risulta, che se , F, , F^^, sono polinomi interi di grado 
V nella coordinata d'un punto della retta S^, i gruppi di una involuzione di grado y e 
di specie m sono determinati dall'equazione 
a, F. +«,F, + J^a^,, = 0 , 
dove le a dinotano parametri affatto arbitrari. 
4. Sulla retta S^ consideriamo v + A; punti qualunque; i v-\-k spazi 0^_, passanti 
per essi, presi a V a V, determinano ^^^''^ punti , di 2^, formanti un gruppo G. Tutti i 
gruppi analogiii a questo sono in numero oo^**. 
Sia ora 2'^^^^ uno spazio lineare a v-f-/c dimensioni contenente S, ed in esso assumia- 
mo una curva fondamentale d'ordine v-j-A- per modo che v-f/c— l de'suoi spazi osculatori 
