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a v + Zc — 1 dimensioni abbiano in comune la reità S, *). Col nolo procedimento (n. 1) 
potremo riferire univocamente fra di loro i punii di 2'v*t ed i gruppi di v + punti ar- 
Lilrarì della retta , onde risulteranno anche riferiti univocamente i punii di S'v,^ ed 
i gruppi G di 2^. 
Essendo uno spazio lineare ad m dimensioni, di 2'^^, ai punti di esso corri- 
sponderanno gruppi di v-j-fc punti, nella retta , formanti una involuzione di specie 
w. Dati m punti qualunque , in S, , gli spazi 0^_, passanti per essi hanno in comu- 
ne uno spazio lineare U^_„. Dei ^i-^-k — m punti che cogli tn dati completano un 
gruppo dell'anzidetta involuzione se ne prendano v — min qualsivoglia modo; gli 
spazi 0V-1 passanti per essi ed U^_^ si tagliano in un punto e di questi punti ne esi- 
stono (^'^\ • Essi appartengono tutti ad un medesimo gruppo G e sono i soli co- 
muni ad U^_^ ed al luogo formalo da tulli i gruppi G corrispondenti ai punti dello 
spazio T' . Si conclude adunque che: 
Ai punii di uno spazio lineare ad m dimensioni , dato in 2'v*a, corrispondono gruppi 
G, di 2^, formanti una varietà ad m dimensioni dell' ordine ^^"^^ • 
Poiché i punti di 2^* corrispondenti ad m-j- 1 gruppi G arbitrari delerininano uno 
spazio lineare T„,, così: 
m 4" 1 g^'upp^ Ci giacciono sempre in una medesima varietà ad m dimensioni dell' or- 
dine ^^"^^ quale contiene un numero ce'" di gruppi G **). 
Se m — V si Irova che ai punii dello spazio T'^ corrisponde un sistema co^ di gruppi 
G il quale è un'involuzione ordinaria di grado • Infatti, preso un punto ?„, in 
2^, i V spazi 0^_j passanti per esso tagliano la retla S^ in v punti pei quali passano al- 
trettanti spazi osculatori a v + A — 1 dimensioni della curva fondamentale di 2'v+4. Que- 
sti ultimi spazi e T'^ hanno in comune un punto al quale corrisponde l'unico gruppo 
G, del sistema sopradetlo, che contiene ed è da questo punto determinato. 
Nel supposto, infine, che sia A = 0 invece dei gruppi G, si hanno i punti dello 
spazio 2^ e la corrispondenza fra 2^ e 2'^ diviene un'omografia. 
§11. 
5. Se in uno spazio lineare S„ esiste una varietà ad n — k dimensioni e del- 
l'ordine k-\- 1 , proiettandola da un suo punto sopra uno spazio lineare ad n — 1 di- 
mensioni, si ottiene una varietà dell'ordine k', proiettando questa da un suo punto so- 
pra uno spazio lineare ad n — 2 dimensioni, si ottiene una varietà dell'ordine k — 1 ; 
e così continuando dopo k proiezioni successive, si perviene ad uno spazio lineare ad 
n-:rk dimensioni. Ciò prova che la è necessariamente una varietà razionale. 
Dati, in S^, fasci proiellivi di spazi lineari ad n—\ dimensioni, il luogo 
dello spazio ad n — A dimensioni comune •òk-\-\ elementi corrispondenti, de' fasci an- 
*) Ciò è evidentemente possibile in infiniti modi. 
**) Veggasi Cremona, Sulle su^terfìcìe e le curve che passano per i vertici d' infiniti poliedri 
formati dai piani osculatori d'una cubica gobba (Rend. del R. Istlt. Lomb., Serie III, voi. XII, fase. 
Vili). 
