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8. Supponiamo che gli spazi 0'^|^_^j_^ rimangano fissi e dislinli, mentre gli spazi 
V*" coincidono tutti in uno solo V .. In allora, consideriamo 1 punti arbitrari 
Mo*" , IVV", .. . , Mo'*^'*, di V^_^, per es., nell'ordine stabilito dagli apici ; il punto Mq"'* e 
lo spazio 0*^''^_j^j_j determinano uno spazio lineare a k{n — 1) dimensioni ed i A;^- 1 spazi 
analoghi a questo si tagliano in un punto, di S^.u^n.^p che facciamo corrispondere al 
gruppo Mo*" , M(,*'* , . . . , Mo***''. Scambiando gii apici che contraddistinguono i punti 
di tale gruppo in tutti i modi possibili, con la precedente costruzione si ottengono 
1.2 . . . punti lutti corrispondenti del gruppo stesso. Viceversa è eviden- 
te che ad un punto di S(t,,,(„_jj corrisponde un solo e determinalo gruppo 
Mo'"'. . . • Mp**^'' di V^_^. Da ciò si ricava che tutti i gruppi di 1 .2 . . . k{k-\-\) punti dj 
che si cosli'uiscono nel modo indicato, formano un'involuzione ordinaria *). 
9. Dai teoremi dei n. 6 e 7 risulta immediatamente (posto per semplicità ?i in 
luogo di n-k e v in luogo di A; + I ) che: 
I gruppi di V pu7ìti arbitrari d'uno spazio lineare riguardali come elementi, 
sono rappresentabili univocamente sui punti di uno spazio lineare 2^^^ **). 
Di qui si deduce che anche l'involuzione di cui si tratta al n." prec. è razionale, 
cioè i suoi gruppi sono rappresentabili univocamente sui punti di uno spazio lineare. 
10. Consideriamo X spazi lineari Sa^ , S^^ , S^^ , rispettivamente ad a^ , 
. . . . dimensioni, che supporremo contenuti in uno spazio lineare 2^ ad 
n = a^ -\- . . . . -\- a^ dimensioni ed in 2^ assumiamo ad arbitrio X spazi lineari 
fissi e distinti 0'''„_<z -i , 0*'^'„_o^_i 0'''"'„_a^_i , rispettivamente ad 7i — — 1 , 
n — a^ — 1 , 71 — a^ — 1 dimensioni. Se da 0"'„_c(.-i si proietta un punto qua- 
lunque di S^ si ottiene uno spazio lineare ad n — a. dimensioni e i X spazi analoghi a 
questo hanno un punto comune. Viceversa, i X spazi che da 0"*„_a^_i , 0'''„_a^_, , 
...0*'"'„_aj_i proiettano un dato punto di 2^, incontrano in un punto rispettivamente gli 
spazi Sa^, Sa^, Sa^- Cou talc procedimento, adunque, risultano fra loro riferiti univo- 
*) Per « = 3 , = 1 , 2(,,,,,„_„ = 2,, gli spazii 0'%„_^^_, sono due rette 0/" , 0,'^' e V„_^ è 
un piano . Mediante il procedimento descritto si fanno corrispondere univocamente le copi)ie di 
punti del [)iano V.-, a coppie di punti , dello spazio 2^, formanti un'involuzione di 2" grado la quale si 
costruisce mollo facilmente. Dicasi Pj la retta comune a ed allo spazio a tre dimensioni determi- 
nato dalle rette 0/'' , 0^*-'*. Nella rigata di 2" grado possante per le tre rette 0,*'' , 0/-' , P, , sia Q, 
la coniugata armonica di P, rispetto ad Oj"\0/'''. Ogni retta ajipoggiata o in un punto e che 
incontri il piano Y, in un punto contiene infinite coppie dell'involuzione in discorso e tali coppie 
formano un' involuzione di 2" grado di cui e sono i punti doppii. Ai punti d'una retta, di 2^, cor- 
rispondono coppie di punti, in Vj, formanti due punteggiate proiettive nelle quali si corrispondono i 
due punti situati nella P^ . Ai punti di un piano corrispondono coppie di punti, di , formanti due 
figure omografiche di cui P, è una retta unita, ecc. ecc. 
**) Per n = v = 2 si ha una corrispondenza univoca fra le coppie di punti di un piano ed i punti 
d'uno spazio a quattro dimensioni (v. al § III). 
