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camenle i S''"PP' formali da X punii presi ad arbitrio, uno in ciascuno degli spazi 
Sa^, Sa^, .... Saj^, cd Ì puuti dclio spazio 2^. Tale risultalo può venire generalizzalo come 
segue. 
Formiamo un gruppo con », punti arbitrari presi in Sa,, con punti arbitrati pre- 
si in Sc^, ecc. ecc. Tulli i gruppi analoghi a questo, composti di a, + fl^ • • • ^~ 
punti, sono in numero o^aj a,»., + fl;^a;. volle infinito. Ora, i gruppi di «. 
punii arbitrari di So.( 2= 1 , 2, . . . . X ) si rappresentino univocamente sui punti d' uno 
spazio lineare ad a. a. dimensioni (n. 9). Si avranno così X spazi lineari rispettiva- 
mente ad a, ot, , a^a^ , . . . . fl^a^ dimensioni. Poscia si rappresentino univocamente i 
gruppi formali da X punti, presi ad arbitrio, uno in ciascuno degli spazi ora detti, so- 
pra uno spazio ad fl,ai + 'i3«j+ • • • • ^^x'^x dimensioni; se ne dedurrà allora che : 
/ gruppi formali rfa -{-«,+ .... + a, punii arbilrart, dei quali «. (i = l,2,....X) 
siano presi iti uno spazio lineare ad a. dimensioni sono rappresenlabili univocamente sui 
punti d'uno spazio lineare ad a^ a, -|- a^a^ . . . -\-a^a^ dimensioni. 
Questo teorema comprende, come caso particolare, quello del n.° 9. 
11. Supponiamo effeltuala la rappresentazione univoca dei gruppi formati da v 
punii arbitrari d'uno spazio lineare S^, sui punti d'uno spazio lineare 2^^ (n. 9). Dato 
un punto Mj*", in S , noi possiamo prendere X punti infinitamente vicini ad esso in un 
numero X(?j — 1) volle infinito di modi *) ; prendendo poi ad arbitrio, in S„, altri 
V — (X+1) punti da riguardarsi come fissi, risulta determinata una X(n— l)-pla infinità di 
gruppi di y punti , X+1 dei quali sono riuniti in Mo*''. A tutti questi gruppi corrispon- 
dono, in 2^^, i punti d'una varietà razionale (n. 9) a X(n— 1) dimensioni. Tenendo 
Csso Mq*" e variando ad arbitrio i v — (X+ 1) punti precedentemente riguardati come 
fissi, l'anzidetta varietà descrive un'altra varietà a X(n — l)+n(v — X — l)=i:n(v — 1) — X 
dimensioni che indicheremo con Essa è razionale (n. IO) e delle iinagini, in 
S^, d'un suo punto qualunque, una cade in Mo*" ed altre X sono infinitamente vicine 
ad Mq"*. Questo punto Mo*" e la varietà 0„(^_,)_^ si diranno corrispondenti^ perchè il pri- 
mo determina univocamente la seconda. Le varietà 0 , , sono in numero oo" e forma- 
n{v- 1)— A 
no un sistema razionale. 11 loro luogo è una varietà {singolare) a (v— 1) — X=:n v — X 
dimensioni che dinoleremo con A Essa è caratterizzala da ciò che delle imagini 
di un suo punto qualunque ve ne sono X infinitamente vicine ad un'altra. 
Il massimo valore di X è v — 1. Per questo caso si hanno varietà 0(„_„(^_,)i il luogo 
delle quali è la \„_^^^^. Un punto esistente in A^(„_„,, ha v — 1 imagini infinitamente vi- 
cine alla rimanente. 
Il minimo valore di X è zero, nel qual caso si hanno varietà 0„(^_,,, il cui luogo 
A , è lo spazio 2 . 
Segue da tulio ciò, che ad un punto qualunque di corrispondono le v varietà 
^n(v-i) ' ®r.(v-i)-i 1 • • • ® n-i)(v-i)- Ci^scunu di cssc è evidentemente contenuta nella prece- 
*) Ciò perchè le rette di S„ passanti per Mo''' sono in numero oo"~'. Si noti poi che queste rette, 
e quindi anclie i punti infinitamente vicini ad Mg*'' sono rappresentabili univocamente sui punti d'uno 
spazio lineare ad n — 1 dimensioni. 
