dente, onde le v — 1 varietà singolari A^^_^ , A^^ ^ , . . . A.^^_^^_,^ sono tali che ciascuna 
contiene tutte le altre di minori dimensioni. 
42. Siimo M/" , . . . , M(,"' le v imagini d' un punto M^, dello spazio . Le v 
variala 6„(^_„ corrispondenli di M»*'* , Mo*'',..., Mo'"* (n, 1 1) passano tulle per M„ ed han- 
no questo solo punto (variabile) comune. Viceversa è chiaro che le varietà pas- 
santi per sono solamente quelle corrispondenti di Mo"* , M,*", . . . , Mq'"' , epperò: 
Per un punto arbitrario di 2„^ passano v varietà 0„j^_,j le quali si tagliano in quel- 
runico punto (variabile). 
Se dei v punti Mo''* , Mo'^' ^J,,*"* ve ne sono X infinitamente vicini ad un altro 
fra essi, delle corrispondenti varietà ve ne saranno X-f 1 fra loro successive ed il punto 
Mo apparterrà alla varietà singolare A^^ j^ , da cui segue che : 
La varietà A^^ j^ è il luogo di un punto, di 2,,^, per il quale passa7ìo varietà 
®„(v_i) f''^ ^^''^ successive, ed altre v — (X+l) fra loro distinte. 
Per X = V — 1 abbiamo : 
La varietà singolare è il luogo di un punto per il quale passano v varietà 
0 coincidenti insieme. 
Queste v vaiielà contengono ciascuna una 0(„_,)(^.j, che appartiene alla A^,„_j)^, 
(n. 1 1). Inoltre una 0„(^_„ sega la secondo un luogo ad (n— 1) (v — 1) dimensioni 
ogni punto del quale ha per imagini il punto fisso corrispondente di quella 0„(^_jj ed 
altri V — 1 punii ad esso infinitamente vicini, onde: 
Una 0 , e la varietà singolare A , ,^ , hanno in comune v varietà 0, fra 
n(v-l) «' «(v— (n-1) (V— 1) I 
loro successive. 
Infine, v — 1 varietà 0„^^_^^ qualunque, corrispondenti dei punti M/",Mo'",..., Mo*""" 
di S^, hanno in comune una varietà T^, ad n dimensioni, ogni punto della quale ha 
per imagini i v— 1 punti fissi anzidetti ed un altro punto variabile Mo*^'. Per un punto 
qualunque , di T^, passa una sola 0^(y_,j variabile avente con T„ quell'unico punto 
comune. Essa è corrispondente del punto variabile Mo*^'. Si vede da ciò che i punti 
ed Mo'"* si corrispondono univocamente fra di loro, per cui la varietà T è rappresen- 
tata punto a punto sullo spazio S^. Due varietà analoghe a T„ sono punteggiale univo- 
camente dal sistema delle 0„(,_,j • 
13. Nello spazio S^ sia data un'involuzione di grado v e di specie m. I gruppi di 
essa saranno le inìagini di punti, dello spazio 2„^ formanti una varietà <1>^^ . Presi m 
punti qualunque , in S^ , le m varietà ®„(y_,) che loro corrispondono (n. 1 1) e la non 
potranno avere più d'un punto (non fisso) comune, il quale avrà per imagine, in S^, 
quel gruppo dell'involuzione che è determinato dagli m punti considerali. Viceversa, 
è evidente che i punti d'una varietà <1>^_^ avente un solo punto comune con m varietà 
0n(v-ì)' '''"^"0 per imagini i gruppi d'una involuzione di grado v e della specie in. Per- 
ciò la ricerca di tutte le involuzioni, dello spazio S^, equivale a quella di tutte le 4»^^^ 
dotate dall'anzidetta proprietà. 
Data, in S„, una varietà razionale f., ad i dimensioni, tutti i gruppi di m punti 
arbitrarii , presi in essa, costituiscono uno spazio razionale ad r?» / dimensioni (n. 9), 
Ciascuno di tali gru|)pi determina un gruppo dell'involuzione e quindi un punto della 
varietà 4>^„, epperò il luogo di questo punto è una varietà razionale 9^^. Se poi infinite 
