formano un sistema razionale *), anche le corrispondenti 9^. formeranno un sistema 
razionale. Onde : 
Una varietà <I>^^^ , di 2_^^ , i cui 'punti hanno per imagini, in S^^ , i gruppi di uìi in- 
voluzione di specie m , contiene infiniti sistemi razionali di varietà razionali. 
14. Riippresenliamo univocamente i gruppi di m punii arbitrari dello spazio S,^sui 
punti d'uno spazio lineare U^^ nel modo nolo (n. 6, 7, 9). In allora è chiaro che ad un 
gruppo dell'involuzione data corrisponde univocamente un gruppo di punti e tutti 
i gruppi analoghi a quest'ultimo formano una involuzione ordinaria [I]. Cioè: 
Data un' involuzione di grado v e di specie m in uno spazio lineare ad n dimensioni, 
si può sempre costruire un" involuzione ordinaria di grado in uno spazio lineare ad 
mn dimensioni, i gruppi della quale corrispondono univocamente a quelli della data. 
"Vi sarà dunque una corrispondenza univoca anche fra i punii della varietà 4>^^ ed 
i gruppi dell'involuzione [I]. Mediante poi successive proiezioni e sezioni, dalla <I>^^ 
possiamo dedurre una varietà <I>' contenuta in uno spazio lineare 2 , , cosicché si 
corrisponderanno univocamente fra di loro i punti di 4>'^^^ ed i gruppi della [1]. 
Nello spazio U^^ consideriamo una retta passante per un punto fisso Pg. 
A lutti i gruppi, dell'involuzione [I], determinali dai singoli punti di tale retta 
corrisponderanno punii, della varietà <I>,^_^_ il luogo dei quali sarà una curva razionale 
Rj . Variando la retta intorno al P^, la curva descrive un sistema razionale qc"'""'. 
Preso un punto arbitrario Mo , in 4>'^^ , le curve R^ passanti per esso sono quelle che 
nascono dalle rette congiungenti P^ coi punti di quel gruppo, della [I], che corrispon- 
de ad Mg e quindi per ogni punto della varietà passano curve R^. 
15. Indichiamo con , , . . . , w„„_i , mn—l parametri da un sistema di valori 
dei quali risulti determinata una linea rella uscente dal punto P^^, dallo spazio U^^ ; sia 
poi 0),^^ un parametro, dal cui valore dipenda la posizione di un punto su quella retta. 
Da quanto precede risulla, che la varietà può rappresentarsi con equazioni della 
forma : 
^1 : ^1 = : = F, : Fj : : F^^,, , (1) 
dove le X sono le coordinate omogenee di un punto dello spazio 2 e le F sono fun- 
zioni razionali di w, , , . . . ,10^^ opportunamente determinate. 
I parametri w possono anche riguardarsi come coordinate (non omogenee) di un 
punto dello spazio U^^ , nel qual caso le equazioni (I) definiscono una relazione, fra i 
due spazi U^^ , 2^^^^ , tale che agli spazi lineari ad mn dimensioni contenuti in 2„„^, 
corrispondono univocamente le varietà del sistema lineare 
+ +«.„*2F„„., = 0, (2) 
*) In particolare, (ale sistema può constare di tutti gli spazi lineari ad i dimensioni contenuti in 
S„ (n. 7). 
