- 9 - 
ed in particolare a quegli fra gli spazi anzidelti che passano per un punto di 4>'„„. cor- 
rispondono varietà del sistema (2) formanti un sistema lineare oo"" e tutte aventi in 
comune un medesimo gruppo (variabile) dell'involuzione [I]. Adunque, il sistema (2) 
ha la proprietà che tutte le varietà di esso che contengono un punto dato contengono ne- 
cessariamente anche gli altri punti di quel gruppo, dell'involuzione [1], che è determi- 
nalo dal punto dato *). 
Da ciò si arguisce che il risultato dell'eliminazione dei parametri w dalle (1) (cioè 
l'equazione della in coordinate di punti) è la potenza y^j d una funzione delle 
coordinate. Perciò si può dire che nell' accennata rappresentazione della 4>,„„' sopra 
Vmn- la stessa ^'mn è una varietà da riguardarsi come multipla secondo il numero ij^' 
i IH. 
46. Applichiamo ora i procedimenti indicati ai n.' 6, 7, 9 per il caso (y = n = 2) 
in cui si tratti di rappresentare univocamente le coppie di punti d'un piano S, sulle 
rette di uno spazio oidinario S3, non che sui punti d'uno spazio lineare 2^ a quattro 
dimensioni. 
A tal uopo dinotiamo con , X^^ , , , X. le coordinale omogenee di un punto 
di 2. ; lo spazio S3 sia determinato dalla X. = 0 ed , in questo spazio, il piano sia de- 
terminato dalla X^i=0. Assunta in S3 una quadrica fìsse ^2 la cui equazione sia 
X, X,-X3X, = 0, 
diciamo r,, , r^j , r^^ , r,^ , r^. ,7-3. le coordinale d'una retta qualunque di S^. Questa retta 
sega ^3 in due punti le coordinate dei quali sono: 
dove 
P = ('"1-2 + ^3i)' + 4^23^4 • 
Proiettando tali punti dal punto fisso C,, (X^ = X, = X3 rr: 0) della , sul piano 
S, , si ottengono due punti Mo*" , Mo'**. Nel supposto che i piani Xj^rO , X^^O, di S3, 
siano fra loro paralleli, possiamo riguardare la retta X,=:0 , X^— 0 e la retta X^=0, 
X^ = 0, del piano S.^, quali assi cartesiani delle x e delle y rispettivamente. In questo 
caso le coordinate x, y dì IMo*" e le coordinate x , y' di Mo''* si trovano così espresse : 
cc'= 2r,3 ' y= 2r,, ' ^ ^ 
*) Il contenere la <l>'„.„, al pari della infiniti sistemi razionali di varietà razionali, costituisce 
una proprietà certamente rimarchevole. Ma questi sistemi, per il modo istesso col quale vennero co- 
struiti, non pare che si prestino a sciogliere il dubbio se la 4>'„„ (e quindi anche l'involuzione [I]) sia 
un ente razionale. È inoltre da avvertire, che tale quistione è intimamente legata a quella che riguarda 
ì sistemi lineari di varietà che presentano il caso eccezionale sopra notato, sui quali sarebbero oppor- 
tune ricerche generali, ch'io sappia non ancora tentate. 
Atti - Voi. V. — Serie 2."— N.o 1. 2 
