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Perciò le (1) del n. prec, divengono: 
xr= -X,X, + X,(X,-i-X,)±VÌ y= X,X, + X^{X 3+ X,) ± j/^ 
x= 2X,(X3-XJ ' i/'= 2X,(X3-X, + XJ 
dove 
i = [X, (X3 + X,) - X, X,f - 4X, X, X, (X3 - X,) . 
Dalle (2), poi, si deducono le seguenti: 
X^=(x^y—x^y)[(x—x')—xx■(t/—y^)] , X=(xy'— x y)\—(y—y')-'ryy'(x—x')] j 
^3=(l/—y')[^^^'(P—y')—^^W(x—x')—(x—x')] , X~—xx'(y—y')[yy{oc-x)-(r/—y)] (4) 
Le (3), (4) sono le formule di corrispondenza fra i punti dello spazio 2^ e le cop- 
pie di punti del piano S^. 
18. Se si attribuiscono a a? ed ?/ due valori ad arbitrio, nel piano è determinalo 
un punto Mj*" e nello spazio 2^ è determinala la superficie 0^ corrispondente di M^^"* 
(n. 11), la quale è rappresentata dalle equazioni (4) quando vi si introducano per x e 
y i valori anzidetti. Ogni punto di 0^ ha due indagini in S^, delle quali una cade co- 
stantemente in M^j"'. Questa superficie è una riguta del terzo ordine*); essa contiene 
le rette , (n. 17) non che la retta (X^ = 0 , == 0 , = 0) comune ai piani 
A, , B^, e la retta (X^ =: 0 , X^ = 0 , X3 + X^ = 0) trasversale delle A, , B, , C,. Tutte 
le superficie analoghe a 0^^ formano una serie razionale 00" e per ogni punto dello spa- 
zio 2^ ne passano due sole (n. 1 1). 
19. L'equazione 1 = 0, cioè (n. 17): 
[X3 (X3 + X,) - X, X,]^ - 4X, X, X, (X3 - XJ = 0 , 
rappresenta la varietà singolare A3, a tre dimensioni, del quarto ordine, ogni punto 
della quale ha due imagini, in S^, tra loro infinitamente vicine in una direzione deter- 
minata (n. 1 1). Ponendo nelle (4) del n. il , y' = y Sij , a) = co , dividendo po- 
scia per {^ooy e osservando che quando 8x e convengono insieme a zero, il rapporto 
Sy .,1 ì- ^y • , 
— assume il valore di t-, risulta: 
Sx 
M^t'^-^')' '^'-Ib-^'S+Oj 
fdy\ 
\dxj 
(5) 
*) Nella (C.M n. 9) la 0.3 corrisponde alla stella di rette, dello spazio S3, avente il centro 
in un punto della quadrica Tj. 
