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equazioni le quali, riguardando le ce ,y, ^ , come Ire parametri indipendenti, defini- 
scono in altro modo la varietà *). 
Assegnando alle a;, y due valori ad arbitrio, nel piano è determinalo un punto 
Mo''' e nella varietà A3 è determinala una conica , le cui equazioni sono quelle che 
divengono le (5) introducendovi per le a? , i/ i valori dati. 0^ è la conica corrispondente 
di Mo*'* (n. 11), cioè ogni punto di 0^ ha due imagini, nel piano , delle quali una è 
Mo*" e l'altra è infinitamente vicina a questo punto in una direzione determinata. Cia- 
scuna delle supeificie 02 (n. 18) ha in comune con A3 due coniche 0^ coincidenti in- 
sieme (n. 12). 
20. Nella varietà A3 possiamo distinguere due specie di superficie, e cioè: 
a) Superficie, ognuna delle quali è il luogo di una semplice infinità di coniche 0 . 
bj Supeificie che non contengono coniche 0^ , oppure ne contengono un nume- 
ro discreto. 
Una superficie della specie a) è determinata da una relazione qualunque fra le sole 
a),rj , vale a dire da una curva data nel piano S.^. Le coniche 0^ corrispondenti ai punti 
di questa curva ajìpartengono alla superficie medesima. 
Una superficie della specie h) si ottiene segando A3 con un'altra varietà qualun- 
que a Ire dimensioni, oppure facendo sussistere insieme alle (5) un'equazione ad ar- 
bilrio fra leo?, y, . Di qui si vede l'intima relazione che hanno le superficie di que- 
sta specie con le equazioni alle derivate ordinarie. 
21. Le principali proprietà della varietà A3 si possono dedurre facilmente conside- 
rando la trasformazione univoca dello spazio rigato S3 nei punti dello spazio 2^ ed osser- 
vando che i punti di A^ corrispondono alle rette del complesso quadratico p = 0(n. 16) 
formato dalle tangenti alla superficie T^. Tale superficie è inscritta nel triedro A^B^Cj, 
non solo, ma gli spigoli A^C^ , B^^C^ sono rette di essa. Questa circostanza particolare 
ha contribuito a rendere più semplici le formule (1) , (2) , (3) , (4) , (5); ma credo op- 
portuno di non tenerne conto nel seguito, considerando il caso pili comprensivo in cui 
la T„, pur essendo inscritta nel triedro anzidetto, nessuno spigolo di esso le appartiene. 
Avrò del resto occasione di far notare in che differisce la A3 risultante da questa ipolesi 
più generale, dalla A3 ottenuta |)recedentemenle. 
Intanto si vede chiaramente che le coniche 0^ contenute in A3 (n. 19) corrispon- 
dono ai fasci nei quali si possono ordinare le rette del complesso menzionato {Cu... «9), 
e[)però ogni conica ©i incontra le rette , , C^. La curva del complesso situata in 
un piano tangente di essendo spezzala in due fasci coincidenti insieme, ne segue che 
ogni conica 0^ conlata due volte, è la completa intersezione del suo piano con A3; on- 
de il piano stesso è tangente a A3 in ogni punto di 0, e ciascuna retta di tale piano è 
bilangente a A3. Tutti i piani analoghi a questo formano una serie razionale 00'. Dino- 
leiò con r.^ uno generico fra essi e con (Tr^)^ la serie medesima. Poiché per una retta 
*) Se a? , y , — si assumono quali coordinale di uno spazio lineare a tre dimensioni , le formule (5), 
servono a rappresentare univocamente, punto a punto, la varietà A3 sopra tale spazio. 
