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di S3 passano dae piani tangenti di T,, così per un punto arbitrario di 2^ passano due 
piani della serie Questi piani, poi, coincidono insieme se il punto giace in A3. 
Alle tangenti <ii situale nel piano corrispondono, in intinile rette appog- 
giale alle , formanti una rigata di 2" grado (Cu. . . n. 17), la quale, contala 
due volte, è la complela intersezione di A3 con lo spazio (AjC,). Onde segue che tale spa- 
zio è tangente a A3 in ogni punto della rigata medesima. In modo affatto analogo si com- 
portano gli spazi (CjAj) , (A,BJ rispello a A3. 
Le rette A,, B, , Cj , sono doppie per A3 (Cu . . . n. 25). Ogni retta di è dop- 
pia per il complesso, epperò ai due sistemi di rette della corrispondono due rette 
D, , E, (C. u . . . n.' 6 e 26) che sono doppie per A,. Le D, , Ei sono incontrale da tutte 
le coniche e quindi da ogni piano della serie (tt^)^ *). 
Invece di assumere come data la quadrica , si può dare ad arbitrio la retta 
D, , nello spazio 2^. In allora ai punii di D, corrispondono, in S3, le relle d'un sistema 
di una quadrica T2 inscritta nel triedro A,B,Cj e la proprietà della di possedere un'al- 
tro sistema di rette si traduce nel teorema: i piani dello spazio a quattro dimen- 
sioni che incontrano quattro rette date, incontrano ancora una quinta reità deter- 
minala **). 
22. I piani della serie («j,)^ che incontrano due rette date ad arbitrio (cioè i piani 
di 2^ che incontrano sei rette indipendenti), corrispondono ai cinque piani tangenti co- 
muni (esclusi AjBjCJ a e a due altre determinate quadriche inscritte nel triedro 
A2B.jC.^. Essi formano una figura correlativa a quella delle cinque rette Aj,Bj , , D^, Ej , 
e quindi verificano il teorema: le rette di uno spazio a quattro dimensioni che incon- 
trano quattro piani dati incontrano ancora un quinto piano determinalo. 
I piani della serie {n^^ che incontrano una reità dala (cioè i piani di 2^ che incon- 
trano cinque relle indipendenti) sono in numero 00' e formano una varietà del Sbordi- 
ne a tre dimensioni. Essi corrispondono ai piani della sviluppabile circoscritta a e 
ad un'altra determinata quadrica inscritta nel triedro A^B^C^. Ai due sistemi di rette 
d'una quadrica qualunque inscritta in quella sviluppabile corrispondono due rette di 
2)4 che incontrano lutti i piani della varietà anzidella. 11 luogo di questa coppia di rette 
è una rigala del 5° ordine, passante per le A^, B^, , D, , E, , la quale è doppia per la 
varietà. La curva comune ad un piano della varietà ed alla sua rigala doppia è del ter- 
zo ordine e può riguardarsi come il luogo dei punti comuni a quel piano e a tutti gli 
altri della varietà e come corrispondenti a quelle rette di S3 (fortnanti un inviluppo pia- 
no di 3^ classe inscritto nel triedro A^B^C^), lungo le quali un piano determinato della 
*) Se gli spigoli ApC^ , BoCfl, del triedro A^B^Cj appartengono a T^, le rette , E, sono infinita- 
mente vicine l'una ad Aj e l'altra a B,. Ciò si vede facilnaente os?ervando che le rette di un sistema , 
della incontrano tutte la A„ C^; quelle dell'altro sistema incontrano la B„ Cg e ricordando quanto 
è detto nella [C.M...n. 5 b),c)\ 
**) Tale teorema, a cui è giunto por questa medesima via il Sig. Pieri {sulla Geometria Proiet- 
tiva delle forme di 4" specie , Gior. di Battaglini, voi. XXYIII) è dovuto al Sig. Segre {Alcu- 
ne considerazioni elementari sull'incidenza di rette e di piani nello spazio a quattro dimensioni. 
Remi, del Circolo Mat. di Palermo, tomo II, anno 1888). Date quattro dello rette A^ , B, , C, , D, . E, , 
il Sig. Segre insegna a costruire la quinta facendo uso della proprietà che la trasversale di tre 
qualunque delle A, , Bj , C, , D, , Ej, giace nello spazio a tre dimensioni determinato dalle altro due. 
