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Ciascuno dei quindici punii anzidelli giace in sei spazii tangenli doppii di 
(Seg. . . . n. 1). Il piano di due rette doppie che s' incontrano è comune a due di tali 
spazii e appartiene ii quelle due, fra le serie (it^\ , (01.^)^ , 0^), , (Vj\ , (^^\ , che sono 
determinate dulie quintuple aventi a comune la terza retta doppia passante per il punto 
d'incontro delle prime due considerate. Epperò due qualunque delle serie anzidette 
hanno tre piani comuni, ciascuno dei quali contiene due rette doppie di A3. 
27. I piani che contengono due rette doppie di A3 sono in numero di 45 e per 
quanto s'è detto (n. 26) possono ordinarsi in 15 terne. Noi assumeremo come corri- 
spondenti una retta doppia ed il piano trasversale *) della terna di piani appartenenti 
a quelle due fra le serie (tt^)^ , , (p,), , (r.,)j , {^X ' (h)t sono determinate dalle 
quintuple aventi a comune la retta doppia considerata. E chiaro allora die il piano cor- 
rispondente d'una data retta doppia sega A3 secondo un quadrilatero i cui vertici giac- 
ciono nelle sei rette doppie contenute nei piani della terna che risulta determinala dalla 
retta data, e le cui rette diagonali sono nei piani della terna stessa. I lati del quadrila- 
tero sono le intersezioni del suo piano coi quattro spazii tangenli doppii di A3 passanti 
per la retta corrispondente del piano medesimo e appartengono alle quadriche di con- 
tallo di quegli spazii con A3. 
Osservando che una retta doppia non incontra il piano che le corrisponde, si vede 
che se due rette doppie non s'incontrano i loro piani corrispondenti segano la quadrica 
di contatto di A3 con lo spazio passante per le due rette, secondo due rette d'un mede- 
simo sistema, da cui si deduce che quei due piani non possono avere che un punto co- 
mune. Se invece due rette doppie s'incontrano, il piano corrispondente dell'una sega 
l'altra. Perciò ciascuno dei due spazii tangenti doppii passanti per il piano delle due 
rette è tagliato lungo rette di differenti sistemi della quadrica comune a quello spazio 
ed a A^; quindi i due piani si segano lungo una retta, ossia giacciono in un medesimo 
spazio a Ire dimensioni. Da ciò si trae che il piano trasversale di quelli corrispondenti 
a tre rette d'una quintupla è corrispondente alla trasversale delle tre rette, onde segue 
senz'altro che: 
1 piani seganti la varietà A3 secondo quadrilateri formano una figura correlativa di 
quella costituita dalle quindici rette doppie della varietà. 
28. Consideriamo una quintupla qualunque di rette doppie, per es., la quintupla 
Aj Cj Dj Ej . Se agli spazii (A^C^) , (A^D^) , (AjE^) si fanno corrispondere rispettiva- 
mente i punti nei quali il piano corrispondente di è segato dai piani corrispondenti 
di Cj , , E,; e se agli spazii (B^CJ , (B,DJ , (B^E,) si fanno corrispondere rispettiva- 
mente i punti nei quali il piano corrispondente di B^ è incontralo dai piani corrispon- 
denti di Cj , ,Ej: nello spazio 2^ è determinata una reciprocità in cui allo spazio (A,Bi) 
corrisponde il punto comune ai piani corrispondenti di A^, B^. Tale reciprocità, poi tra- 
sforma il sistema delle rette doppie di A3 nel sistema dei 15 piani che segano questa 
varietà secondo quadrilateri. Di più, le sei serie di piani (*J,,(.8,),,(Tj,,(5^),,(e,), 
sono trasformale in altrettante serie di rette appartenenti ad una varietà del terzo 
*) Come abbiamo chiamata trasversale di Ire rette date in 2^ la retta che le incontra tutte tre, 
co.«i chiamiamo piano trasversale di Ire piani, dati in 2,, il piano che sega ciascuno di essi lungo una ■ 
retta, cioè passa per i punti nei rjuali i tre piani si tagliano a due a due. 
