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ordine e quarta classe *), che contiene i 15 piani sopradetti. I punti e gli spazii tan- 
genti di A3 sono trasformati rispettivamente negli spazii tangenti e nei punti di e 
quindi i dieci spazii tangenti doppii di sono trasforni;ili nei dieci punti doppii di r^. 
Sia un punto comune a tre rette doppie di A3 e lo spazio che gli corrisponde 
nella reciprocità. Dinotando con , , So i punti coniuni a P^ ed alle tre rette dop- 
pie, i piani corrispondenti delle P^ , P^ , P^, S^ giacciono in P^ e passano rispetti- 
vamente per le rette R^ S^ » Qn ^0 ' ^o- P'''"' ^^^^^^ punto comune che cor- 
risponde allo spazio T3 in cui giacciono le P^ , P^ R^^ , P^ S^. 
Negli spazii e P^, le stelle corrispondenti coi centri in P^ e T^, sono reciproche 
(nel senso ordinario) e segano il piano R^ S^ secondo una reciprocità nella quale ad 
ogni vertice del triangolo R^ S^ corrisponde il lato opposto. Di qui segue che alle due 
rette che da P^ e T,, proiettano un dato punto del piano S^ corrispondono rispetti- 
vamente, nelle stelle di centri T(,, P^, due piani aventi in comune una medesima retta 
del piano Q^R^S^,, il quale, perciò, è il piano corrispondente della retta P^, T^. Dopo 
ciò si vede facilmente che nel pentagono P^ Q„ R^ S^ ogni vertice ha per corrispon- 
dente il lato opposto, onde la reciprocità considerata, in 2, è involutoria. Concludiamo 
adunque che: 
La varietà e A3 coesistono necessariamente nello spazio 24 in virtù, di una polarità 
che è determinata dall'una di esse e che trasforma questa neW altra. 
29. Uno spazio dato U^, di 2^, sega i piani della serie (ttJ^ '""go le rette d'una 
congruenza [2 , 3] di 2° ordine e 3^ classe. I raggi della congruenza passanti per un 
punto giacciono nei due piani della serie (7rj)j, uscenti da quel punto (n. 21); i raggi 
della congruenza situati in un piano di U3, sono le rette secondo cui tale piano è in- 
contrato da tre determinati piani della serie (irj.^ (n. 25). Il luogo di un punto per il 
quale passano due raggi tra loro infinitamente vicini della [2 , 3] è la superficie (focale) 
Aj del 4° ordine, secondo la quale U3 sega la varietà A3 ed i raggi della congruenza 
sono altrettanti bitangenti di \ (n. 21). 
Ciascuno dei 15 punti comuni ad U3 ed alle rette doppie di A3 è doppio per la su- 
perficie A^. Se dal punto doppio situato in una delle rette A, , , C, , D, , E, si proiet- 
tano quelli situati nelle altre quattro, non che quelli situati nelle trasversali di queste 
quattro, prese a tre a tre, si ottengono otto rette di un medesimo cono quadrico (n. 25) 
che appartiene alla [2 , 3]. Di questi coni, adunque, la congruenza ne possiede cinque, 
ed essi a due a due hanno una retta comune. 
Ciascuno dei punti doppii di che giacciono nelle 10 rette (A^B^CJ ,(AiBjDj),... 
. . . , (C,DjEJ è centro d'un fascio di raggi (n. 23) della [2 , 3]. Il piano del fascio che 
ha il centro nel punto doppio esistente in (AjB^CJ passa per i punti doppii esistenti in 
Dj , E^; il piano nel fascio col centro nel punto doppio esistente in (A^B^DJ passa per 
i punti doppii esistenti in C^ , E^ , ecc. ecc. Da cui si vede che dei piani anzidetti ne 
passano quattro per ogni punto doppio di A^ situalo in una delle rette Aj,B,,Cj,Dj,Ej. 
Lo spazio U3 sega anche ciascuna delle serie (a,)^ , (pj, , (yjj , (^^X^ , (O2' secondo 
una congruenza di 2° ordine e 3^ classe affatto analoga alla precedente, la cui super- 
ficie focale è A_^. Due qualunque delle sei congruenze hanno un cono quadrico comune 
*) È la varietà studiata dal Sig. Segre (V. il lavoro più volte citato). 
Atti— Voi. F. — Serie N.» 1. 
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