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i] CUI vertice giace nella rella comune alle quintuple che determinano quelle due fra le 
serie (ir,)^ , , (pj)^ , {y.^ , [^X ' ih\ > ^lie sono segale dallo spazio U3 secondo le con- 
gruenze considerale. Inollre sono rette comuni alle due congruenze quelle che risul- 
lano segando con i Ire piani che appartengono ad enli anibe io sene aiizidelle (11. 26). 
Ciascuna delle tre rette in discorso è la congiungente di due punti duppii della A^. 
Se supponiamo che lo spazio U3 sia tangente alle varietà A3, la superfìcie Aj ha 
un altro punto doppio nel punto di contatto ed i piani delle serie (v:^)^y{oi^)^,{^^)^,{Xi^tì 
, (ejii , uscenti da tal punto giacciono in U3 (n. 25). Perciò questo spazio sega le 
serie anzidette secondo congruenze di 2° ordine e di 2"" classe con la superficie focale A^. 
Adunque, ogni spazio tangente di Attaglia questa varietà secondo una superficie di 
K u m m e r *). 
30. Assumiamo come fisso un piano qualunque n^, della serie («2^2, cosicché per 
ogni suo punto passa un solo piano variabile della serie slessa. Dato un punto M„, nello 
spazio 2^, i piani della serie uscenti da esso incontrano v:^ in due punti che chiame- 
remo imagini di IM^. È evidente che queste imagini determinano completamente la po- 
sizione di IM^. Si ha così un nuovo procedimento per rappresentare univocamente i 
punti d'uno spazio a quattro dimensioni sulle coppie di punti di un piano **); procedi- 
mento tanto più notevole inquantochè esso è diretto e presenta la più perfetta analo- 
gia con quello indicato al n.° 1 (per il caso di nz=z \ e v qualunque). 
Dinotiamo con 0^ la conica sezione di ir.^ con la varietà A3, la qual curva contiene 
i punti flg , 60 , , rfg , comuni a iz^ ed alle rette A^ , Bj , , , , rispettivamente. 
I punti di un piano qualunque ir'^, della serie ('nrj^, hanno per imagini coppie formale 
dcd punto fisso TJj'^o 6 da un'altro punto variabile, cosicché si può dire che qui i piani 
della serie anzidetta sostituiscono, nel loro ufficio, le superficie 0.-^ del n. 18. La co- 
nica comune a tt^ ed alla varietà A3 é rappresentala dal punto fisso tt.^ t:\ e dalle dire- 
zioni intorno ad esso; un punto di ir'.^ infinitamente vicino a t:^ ha per imagini il punto 
«3 «'2 ed un determinato punto della conica 0^; un punto di questa conica e le direzioni 
intorno ad esso rappresentano punti d'una conica, della varietà A^, situala in un piano, 
della serie (t^J^, infinitamente vicino a e passante per il punto consideralo. 
Un punto qualunque della quadrica ^^"\ a tre dimensioni, cui appartengono i piani 
della serie («J^ passanti per il punto (n. 25), ha per imagini due punti, dei quali uno 
cade infinitamente vicino ad a^. Considerando i punti , , , e^^ si definiscono, 
nello slesso modo, altre quattro quadriche (ì^^''\ iì^^'^ , fì^"" , (ì^'^ che godono della pro- 
prietà affatto analoga a quella di ila'"'. Le quadriche 1)3'" , n^^*' si tagliano in un luogo 
spezzato nel piano t:^ e in una superficie (rigala) del terz'ordine passante per le rette 
A, , Bj , C, non che per la loro trasversale. Questa superficie contiene la conica 0^ e le 
imagini di ogni suo punto sono infinitamente vicine l'una a rf^ e l'altra ad e^. 
Le imagini d'un punto qualunque della retta A, sono due punii soggetti alla sola 
condizione di giacere in una medesima conica circoscritta al quadrangolo boC^dgC^ 
(n. 25). In particolare, se il punto considerato coincide con delle sue imagini una 
cade iiilinilamcnte vicino ad e l'altra nella conica 0^ . 
*) Il cono circoscritto alla varietà (n. 28), col vertice in un punto di essa, è segato da uno spa- 
zio qualunque secondo una superficie di Kunumer. (Seg n. G). 
**) La rappresentazione di cui si parla differisce , nei particolari , da quella data ai n.' IG , . . . , 19. 
