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Due punii arbitrarli, l'uno in e l'altro in rappresentano il punto dove la 
retta A, è incontrata dalle (A^B^CJ , (A^D^Ej), il piano delle quali rette (appartenente 
alla serie (ir^)., ) incontra il piano rappresentativo nel punto comune alle rf^ , 6^ c^^. 
Ecc. ecc. 
La trasversale delle rette Aj,Bj,Cj è rappresentala da due punti arbitrarii della 
retta dge^{n. 23); la trasversale delle A,,B,,D,,da due punti arbitrarii della c^e^, 
ecc. ecc. 
Dei due piani della serie (tt^).^ passanti per un punto dello spazio (A^BJ uno con- 
tiene la trasversale delle Cj,D, ,Ej epperò delle due imagini del punto una cade nella 
retta a„ b^. Conclusione analoga a questa vale anche per la rappresentazione di ciascuno 
degli altri spazii tangenti doppii di s^. 
31. Da quanto è dello al n. 22 discende che l'imagine d'una reità qualunque dello 
spazio 2, è una curva del 5° ordine passante con due rami per ciascuno dei punii 
a„ , 6^ , , (/^ , . Uno di questi punti e le direzioni dei due rami uscenti da esso rap- 
presentano i due punii comuni alla retta e ad una determinala delle quadriche 
03*"' , fìa*** , ^^'^ , J^;"* , "3'* (n. 30). La curva anzidella, però, è l'imagine d'infinite rette 
di 2^ formanti una rigala del 5° ordine, la quale contiene le Aj , B^ , , D^ , E^ ed è 
determinala da una qualunque delle sue rette. 
Dali cinque punti ad arbitrio, nel piano n^, i piani della serie («j).^ passanti per 
essi (escluso irj sono incontrali da infinite rette di 2^ formanti una rigala K.^, del 5° 
ordine e sono appunto queste rette che hanno una medesima imagine nella curva x^, 
di 5" ordine, determinala dalle condizioni di dover passare per i cinque punti dati ed 
avere un punto doppio in ciascuno dei punti , 60 , Co , c/o , e^. Tulle le curve di 5° or- 
dine per le quali sono doppii i punti fissi ora delti cosliluiscono un sistema lineare 
(Xi). , 00*, e sono dunque le imagini delle retle di 2^*). Queste rette, pertanto, si de- 
vono riguardare come distribuite in un numero 00* di rigate analoghe a formanti 
un sistema (KJ^. 
Due curve y, determinano un fascio del sistema (Xjìs: le due corrispondenti 
rigale ne determinano una serie co' che possiamo chiamare fascio di rigate K.^. Le 
rclle di tali rigale incontrano tulli i cinque piani della serie (n,^)^ passanti per i cinque 
punii base semplici del fascio consideralo di curve x,- D' questi punti uno è determi- 
nalo dagli altri quattro, precisamente come de'cinque piani anzidetti, uno è determi- 
nalo dui rimanenti (n. 22). Una rigala del fascio è completamente definita dalla con- 
dizione che le sue rette devano incontrare un nuovo piano della serie («2)2**)- 
*) È da osservarsi clie i punti base e^, del sistema (Xì)^ non sono indipendenti fra loro, 
ma uno è determinato dagli altri quattro poiché, com'è noto (n. 21). quattro delle rette , B, , C^, 
Dj , Ej, determinano la quinta. Questa relazione, fra i punti anzidetti, è richiesta dall'essere lo spazio 
2^ in bna posizione che si può chiamare prospettiva rispetto al piano rappresentativo tTj. Ma quando 
non si esiga una tale posizione è chiaro che i punti , b,^ , , (f^ , e^, si possono assumere affatto ad 
arbitrio. In tal caso, poiché mediante trasformazioni quadratiche, dal sistema (x,)^ si può dedurre un 
sistema lineare di cubiche aventi quattro punti fissi comuni, così segue che è possibile di rappresen- 
tare univocamente i punti dello spazio 2. sulle coppie di punti d'un piano, per modo che le imagini 
delle rette di 2^ siano cubiche passanti per quattro punti fissi dati. 
**) Le rigate di un fascio appartengono ad una varietà 1% del terzo ordine come quella conside- 
rata al n.° 28. 
