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Queste due imagini determinano un fascio, le cubiche del quale rappresentano le 
ielle che da proiellano i punii della rella (n. 31). Da cui segue (n. 3?) che 
quel fascio ha tre punii base sulla curva imagine delia reità e che questa curva 
è segata, dalle cubiche del fascio, in due punii variabili imagini d'un punto della rella 
M N . 
0 0 
La soluzione data dell'ultimo problema conduce a rappresentare, sopra ir^, ogni 
piano passante per una rella determinata dalle imagini di due dei suoi punti. 
Se poi un piano è determinato mediante le imagini di tre qualunque dei suoi 
punii, costruendo le imagini delle relle che li congiungono a due a due si hanno tre 
curve del sistema {x^)^i le quali deGniscono la rete generatrice dell'involuzione che rap- 
presenta il piano considerato. 
37. Occupiamoci ora della rappresentazione di uno spazio lineare che noi de- 
termineremo assumendo come date le imagini di quattro qualunque , , , 
de'suoi punti. 
Col nolo metodo (n. 36) potremo costruire l'involuzione che rappresenta il piano 
di ciascuna f;iccia del tetraedro L(,]\JoNq, non che la traccia del piano slesso sopra 
(n. 32). Le quattro tracce che così si ottengono giacciono nella linea retta traccia 
dello spazio U3. 
I piani della serie (n^)^ sono segati da lungo i raggi d'una congruenza [2,3] 
(n. 29) e le imagini di questi raggi sono curve del sistema (x,)^ dotate di un punto 
doppio esternamente ai punti , , , , e^, formanti una certa serie (Xi).2, <»^' Dato 
un punto Xo*", di tc.^, vi è una sola curva della serie {Xi)^ 'vi dotata di un punto dop- 
pio, la quale è l' imagine di quel raggio, della congruenza [2,3] che giace nel piano 
della serie (v:^)^ passante per X(,"\ Questa curva, partendo dagli elementi dati, si co- 
struisce come segue. Si considerino i due punti coniugali di nelle involuzioni rap- 
presentanti due ad arbitrio delle facce del tetraedro H L M N : la curva del sistema 
' 0000' 
{xX passante per i due punti anzidetti e dolala di un punto doppio in Xo è la ri- 
chiesta *). 
Risulta ora chiaramente che se due raggi della congruenza [2,3] hanno un punto 
comune, le loro imagini sono due curve della serie (xX l una delle quali ha il suo punto 
doppio (variabile) sull'altra. Da cui si ricava che le curve della serie (xj. passanti per 
due punti dati sono quelle aventi ciascuna un punto doppio in uno dei cinque punti co- 
muni alle due curve delle serie dotate d'un punto doppio l'una nell'uno e l'altra nel- 
l'altro dei due punti dati. Poiché lo spazio U3 è determinalo da due relle della [2 , 3] 
che non s'incontrino, così: 
La serie (xX ^ pienamente determinala da due qualunque delle sue curve, jmrchè 
il punto doppio (variabile) dell'una non giaccia nelVallra. 
Ciò si rende anche manifesto dal modo istesso col quale, in virlù delle proprietà 
sopra enunciale, dalle due curve date della serie se ne deducono immediatamente al- 
tre cinque, giacché col procedimento medesimo (applicalo indefinitamente) si possono 
costruire tulle quante. 
*) Se si fa corrispondere un raggio della congruenza [2,3] al punto doppio della sua imagine, la 
congruenza stessa è rappresentata univocamente sul piano t,^. 
