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38. Da quanto precede si ricava, che la condizione necessaria e suCBciente perchè 
<lue punii Mp"' , Mo'\ del piano siano le imagini di un punto dello spazio U3, si è che 
la curva della serie (xjj avente un punio doppio nell'uno contenga l'altro dei punti 
Mo"' , Mj,"'. Partendo da questo criterio si potranno facilmente costruire le imagini delle 
rette di U3 non che le involuzioni che rappresentano i piani di U3, tenendo conto delle 
cose già esposte al n." 36. 
Circa le rette di U3 aggiungiamo che le loro imagini formano una serie 00*. — Le 
curve di questa serie passanti per quattro punti dati sono le imagini delle rette di 
che si appoggiano ai quattro raggi della congruenza [2 , 3] le imagini dei quali sono 
curve della serie {x^)^ dotate di un punto doppio ciascuna in uno dei punii dati. Perciò 
la serie 00* e dell'indice 2. 
Quanto ai piani , dello spazio U3, osserviamo che le involuzioni che rappresentano 
due qualunque di essi hanno infinite coppie di punti coniugati in comune, il luogo delle 
quali è una curva comune alle due reti generatrici delle involuziozi anzidette. Tale cur- 
va è l'imagine della retta intersezione dei due piani considerati. 
Nel piano ttj assumiamo un j)unto Po^'' ed una direzione intorno ad esso per de- 
finire la posizione di un punto P^ della varietà A3. Trattandosi di rappresentare i punti 
di quel piano «j, della serie («2)2 che passa per P^,, si costruisca la conica circoscritta 
al pentagono b^c^d^e^Vo^^-^ indi si descriva la cubica dotata in Oq d'un punto doppio, 
passante per b^,c^,d^,e^ e tangente in Po"* alla direzione data. 
Tale cubica, fuori dai punti nominati, sega la conica in un punto Q,. Le cubiche 
con un punto doppio in ao e passanli per &05^o'^o»^o>Qo formano un fascio (che contie- 
ne la cubica considerala) ed una qualunque di esse taglia la conica sopradetta in un 
solo punto variabile. Questo e un allro punto preso ad arbitrio nella cubica stessa sono 
le imagini di un punto del piano «j (n. 35). In simil modo si rappresentano anche i 
|)iani delle serie , (Yi)2 , (^ì\ì (^.2\ uscenti da P^^, e ciò è più che suDBcienle per deter- 
minare la rappresentazione dello spazio tangente in Po a A3. Notiamo poi che nel caso 
attuale, dalla serie (X,), si slacca la rete formata dalle curve del sistema (x,")^ che 
sono dolale d'un punto doppio in Po"\ 
39. Se II3, V3 sono due spazi qualunque, di 2^, dato un punto Xo"\ in n.-^, il pia- 
no della serie («^^ passante per esso taglia 1136 V3 secondo due rette, le imagini delle 
quali (dolale d'un punto doppio in X^*") si costruiscono nel modo noto (n, 37). Queste 
imagini, fuori di X^"* e dei punii a^,6^,c^,(/^, si segano in un punto Xo*'^' e saranno 
X„"' , Xo''^' le due imagini di un punto situalo nel piano comune agli spazi U3 , (n. 38). 
Costruite, nello slesso modo, le imagini di altri due punti di tale piano, si potrà sen- 
z'altro determinare l'involuzione che lo rappresenta , com'è detto al n.° 36. 
Dalle costruzioni elementari date se ne deducono facilmente altre come la deter- 
minazione dell' imagine della retta comune a tre spazi; delle imagini del punto comune 
a quattro spazi od a due piani; ecc. ecc. 
40. Dinotiamo con <I>.^ una superficie, dello spazio 2., la quale sia caratterizzala 
dalla proprielà di avere un solo punto comune, fuori dalle retle A, , B, , C, , D, , E, , con 
ogni piano della serie ('"X- Le imagini dei punti di *„, nel piano ,r<,, saranno allora le 
coppie di punii coniugali d'una determinala involuzione [I], di 2" grado. Viceversa, data 
