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3ji + 2/i, dolala di un punlo \i-pìo in ciascuno dei tre punti comuni alla (A^B^Cj) ed 
alle (AjDjEj)' , (BjDjE,)' , (CjDjE,)'. La R', essendo razionale possiede altri 
-i(3ji+2A-l)(3pi + 2/i-2)-|-|x(,x_l), 
punti doppii , i quali sono punti comuni al piano sr, ed alla curva doppia di Questa 
curva è dolala di un punlo h-plo in ciascuno dei punti comuni alle tre rette (A^D^Ej)', 
(BjDjE,)', (CjD,Ej)' prese a due a due *) e di altri 2 (ji + Zt) punti h-pli su ciascuna di 
tali rette (n. 42). La curva stessa è dotata di un punto (ii-{-2hy plo nel punto comune 
alle D., , E\; di un punto h(n-\-2h)-plo in ciascuno dei punti dove le D'^ , E^ incontra- 
no la (AjB^C,) e di altri 2fjL — 1 punti (jx + 2/ì)-p/i su ciascuna delle D'^ , E',. Dopo ciò 
si conosce il numero dei punti d'intersezione della curva in discorso con il piano o-.^ i 
cioè l'ordine di essa, epperò si può calcolare il genere d'una sezione piana qualunque 
di , il quale risulta così espresso: 
2ji'' + 2h (7|i + 8^1 -{- 1) . 
Tale è il genere d'una sezione della superficie <I>, con uno spazio a Ire dimensioni 
passante per il punto arbitrario 0^ della curva R^. E poiché ogni spazio a tre dimen- 
sioni di S4, ha punti comuni con R^, così ne segue che il genere anzidetto è anche 
quello d'una sezione spaziale qualunque di <I>.^. Adunque, proiettando la 4>., da un dato 
punto di 2^, non situato in <I>.j, si ottiene una superficie dell'ordine 1+5(|a-|-2A) le cui 
sezioni piane sono del genere 2|A^-f 2/i(7|x-|-8/t-|- 1). Essa è dotata di cinque rette 
{li-[-2h)-ple e di altre dieci rette h-ple fortnanli con le prime una figura particolare le 
cui proprietà si possono dedurre della figura costituita dalle rette multiple di 4>,j . La 
superficie proiezione possiede una curva doppia (il cui ordine si può facilmente calco- 
lare), la quale è dotata di 3(|jl+/0 punti (ìx-{-'2h) pli sopra ogni retta {iì.-\-2h)-pta e di 
l+2(|x + 2A) punti h-pli sopra ogni retta h-pla (n. 41). 
44. E nolo (n. 13) come la superficie contiene infiniti sistemi razionali di curve 
razionali. Fra essi è notevole quello 00^ formato dalle curve, le cui imagini, nel piano 
T^, sono spezzale ciascuna in una retta e nella relativa curva coniugata nella involu- 
zione [!]. Se la *2 è rappresentabile univocamente, punlo a punto su di un piano, an- 
che la [I] è rappresentabile sul così detto j)iano doppio. I lavori pubblicati sulle invo- 
luzioni piane di 2" grado **) indurrebbero a credere che esse godano tulle di questa 
*) Qui si tien conto di ciò che proiettando da un punto qualunque una superficie <l>g dello spazio 
2; sopra uno spazio a. tre dimensioni, se un raggio proiettante incontra in due punti l'uno r-plo e 
l'altro s-plo , per la stessa tali punti si proiettano in un punto unico per il quale passano 7-s ranai 
delia curva doppia che acquista la posizione di 
**) Veggansi particolarmente i due lavori del Sig. Bertini: 
Sulle trasformazioni piane univoche involutorie (Rend. della R. Acc. di Napoli, fase. 9, 
anno 1879); 
Deduzione delle trasformazioni piane doppie dai tipi fondamentali delle involutorie (Rend. 
del R. Ist. Lomb. Serie II, voi. XXII, fase. XYIII, 1890). 
