I. 
ESTENSIONE DEL METODO DELLE APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE. 
I. Teorema dì Lindelòf. — Siano p funzioni 9i(xy)(i=rì ,2...p) delle due varia- 
bili X ed y, flnile e continue nel campo che si considera, e, indicando con xjj^ un punto 
del campo, si ponga in generale 
Pr^^^a= j dix^ j dx... \ dx \ dy ... ì dy . (f^{xy) (a=l,...,p) 
(supponendo sempre, che valga, ove occorra, il teorema d'invertibilità delle integra- 
zioni); formiamo quindi le espressioni 
(2) <^l\xy) = ^a^ , ^pII a. (?a = 0,l,2...w^ ; s„ = 0 , 1 , 2 . . . ; « = !,... 
{esclusa però la combinazione r„=:s^ = 0) dove i coefQcienti a^^^^^ sono funzioni finite 
e continue di a; e y nel campo che si considera: dalle cp^*'si formino quindi le , 
come dalle ?, le p'^\ ^, quindi dalle p*^' „ si formino le 9!*' come dalle „ le 9'.**... e 
si seguiti 
Le serie 
così si seguiti indelinilamente. Avremo allora il teorema 
2(p) ^ (p) 
convergono in ugual grado nel campo considerato. 
Indichiamo infatti con M il massimo valore assoluto delle 9. nel campo che si con- 
sidera, con L quello dei coefQcienti a^'^,^^ nel medesimo campo, e, facendo senz'altro 
Xo^Vo—^, indichiamo con x,y i valori "assoluti di a; e di y, con m il massimo dei nu- 
meri con n quello dei numeri e supponiamo che sia ad esempio m>«. 
Sarà allora 
e quindi 
(i) OC y M 
tX ' (t * CI * <%* 
essendo la somma eslesa a lutti i valori di oc ed alle combinazioni compatibili degli 
indici r„ ed 5^. Sarà dunque a forliori 
(1) . , , MLcf, n _ 
9.- i^y) I < —~- {X + \r {y + ir 
