— 4 - 
e tende a zero col crescere indeDiiilo di ?. Infalli ciascun termine della somma che è al 
numeratore della frazione superiore è al più uguale a 
(pm + l)...(p + l)m(pn + 2)...(p + l)^i 
il numero dei termini della somma non supera p{mn-\-m-\-n); la frazione stessa è 
dunque inferiore a 
mn-{-m-]-n 
pn-\-l 
e quindi tende a zero col crescere indefinito di p. La serie S converge quindi in tutto 
il piano T e ciò dimostra il teorema enuncialo, 
2. Consideriamo ora l'equazione a derivale parziali 
(9) 
il cui integrale generale è 
(10) 
essendo le X funzioni arbitrarie della sola x, le Y della sola y, delle quali si può eviden- 
temente disporre in guisa da assoggettare l' integrale z a soddisfare a determinate con- 
dizioni iniziali. Si potrà in particolare assegnare i valori dell'integrale z, di una delle 
sue derivate prime, di una delle sue derivate seconde,... di una delle sue derivate di 
ordine m + n — 1 lungo una curva C, la quale (nel campo considerato) sia incontrala 
in un sol punto da ogni parallela agli assi coordinati; le X,Y risultano allora determinate 
da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie simultanee rispetto al parametro 
che individua i punti della curva C: la loro esistenza è quindi fuori di dubbio. 
Si può però assoggettare l'integrale z ad altre condizioni iniziali. Così quando la 
curva C si riduca a due tratti rettilinei paralleli agli assi coordinati, potremo dare lungo 
il tratto parallelo all'asse x 1 valori di z e delle derivate ^p»---)^^!» luogo quello pa- 
rallelo all'asse y i valori di 2 e delle derivate ^^'••■>^~i^i colla sola condizione della 
continuità e derivabilità ed in guisa che nel punto comune ai due tratti rettilinei si 
abbiano valori uguali per z e per le sue derivate {i< m,k<n;i-\-k< m -\-n —l) 
calcolati secondo l'uno 0 l'altro degli assi coordinati. Anche in questo caso le X , Y 
risultano determinate da sistemi di equazioni simultanee. 
3. Consideriamo ora l'equazione 
= 0 
