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e cerchiamone un integrale che si annulli insieme con tutte le sue derivate di ordine in- 
feriore ad m + M lungo la curva C o lungo i due tratti rettilinei assegnali. Se k.={xy) 
è il punto ove si vuol calcolare l'integrale, k^^{x^y) il punto in cui la parallela all'asse 
X condotta per A incontra la C, K-^^{xy^ il punto ove la parallela all'asse y per A in- 
contra pure la C, l'integrale cercalo è: 
«^0 % 3'o<*m' 3'o<'^"»' S'è*"»») 
dove yg(xj indica il punto ove la parallela all'asse y condotta pel punto (x^,y) incontra 
la curva G. 
Dalla (12) risulta infatti immediatamente che la z soddisfa alla (11) e che si an- 
nulla lungo la C colle derivate ^rr^ per cui i<m ,k<n , k<m-\-n — l : ma dalla 
relazione che ha luogo lungo la curva C ^poslo Qr.=^^^'j 
e dal non essere mai nulli lungo la C i differenziali dx e dy, segue che se sono nulle 
tutte le derivate di un certo ordine ed una dell'ordine immediatamente superiore, sono 
nulle tutte le derivate di quest'ordine. Ne segue che l'integrale z si annulla lungo la G 
con tutte le sue derivate di ordine inferiore ad m + w- Un'osservazione analoga vale nel 
caso che la curva G si riduca ai due traili rettilinei paralleli agli assi coordinati. 
4. Dopo queste considerazioni preliminari veniamo al metodo delle approssimazioni 
successive. Consideriamo perciò un sistema di equazioni della forma 
(13) («,» = !, 2, ...,;,) 
dove 
(14) = ((^<ra<^n^ ; 0<s^<n^ ; r^J^s^<m^ + n^-l) 
Possiamo dimoslrare il seguente teorema fondamentale: 
Teorema I, — Se nel campo dove i coefficienti a rimangono finiti e continui si traccia 
una curva G, che sia incontrata in un sol punto da ogni parallela agli assi coordinati, 
esistono p funzioni z^...Zp, integrali delle (13), tali che per ciascuna di esse, ad es. la z^, 
si possono assegnare lungo la curva G i valori della funzione, di una delle sue derivate 
prime, di una delle sue derivate seconde,..., di una delle sue derivate di ordine 
ma + iì^ — ì. 
Gominciamo infatti dall' integrare il sistema iniziale 
