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si integri il sistema 
(•> (I) 
In guisa da soddisfare alle condizioni iniziali assegnate e così si seguiti indefinitamente. 
Si considerino quindi le serie: 
1 P 
esse a causa delle disuguaglianze fondamentali (20) e pel teorema generale del n." 1 
convengono uniformemente nel campo considerato. Indicandone quindi con , , la 
somma, potremo dire che le o**' tendono uniformemente ai loro limiti g . E sicco- 
me si ha sempre 
e le 9**"'^ tendono uniformemente ai loro limili e le /[. soddisfano alle (20), sarà al limite 
e poiché le 2. soddisfano evidentemente alle condizioni iniziali assegnate e hanno per 
derivate le q, costituiscono il sistema integrale cercato. 
6. È cosi dimostrata, sotto ipotesi molto generali, l'esistenza degli integrali delle 
equazioni date, che soddisfano a determinate condizioni iniziali; ma non la loro unicità. 
Questa risulterà per le equazioni lineari, omogenee 0 no, dall'estensione del metodo di 
Riemann; per quelle lineari solo nelle derivate di ordine maggiore dalle considerazioni 
seguenti: 
Esistano, se è possibile, due sistemi integrali distinti delle (19), z^...z^',z\...z'^^ 
che soddisfino alle medesime condizioni iniziali. Ponendo allora: 
le ìli si annulleranno ai limiti con tutte le derivate di ordine inferiore ad + e sod- 
disferanno alle relazioni: 
Supponendo quindi che le f^, considerate come funzioni degli argomenti g, siano 
tali che possa applicarsi il teorema degli accrescimenti finiti, sarà: 
