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dave, essendo e un numero compreso tra 0 ed 1 perfettamente determinato, i coeffl- 
cienti delle p „ sono funzioni note di x e di y. Posto allora 
(con che le a*" saranno funzioni note di a; e di y) si consideri il sistema di equazioni 
lineari omogenee 
Dx"'»- ~òifi "^-''^^ 'ò^'^W 
e si supponga valere per esso il teorema dell'unicità. Ne segue che un sistema integrale 
delle equazioni superiori, tale che gli integrali co. si annullino inizialmente con tutte le 
loro derivate di ordine inferiore ad è identicamente nullo; e poiché le u,- sod- 
disfano evidentemente a queste condizioni, esse sono sempre nulle, contro l'ipotesi che 
i due sistemi integrali delle 3. , 3 . siano distinti. 
Basta dunque limitarsi al caso delle equazioni lineari. 
7. In ciò che precede ci siamo limitati, ma solo per semplicità di scrittura, al caso 
di due variabili indipendenti; ma è chiaro che tutti i risultati ottenuti valgono anche per 
le equazioni della forma : 
0 < r.^ < m.^ 2 < 2 '"a — 1 
t" i 
con n variabili indipendenti ed anche per equazioni analoghe, lineari soltanto nelle de- 
rivate di ordine superiore. In particolare potremo enunciare per queste equazioni i due 
teoremi di esistenza: 
Teorema I.^" — Se mi campo ad n dimensioni dove i coefficienti a rimangono finiti 
e continui, si considera un' ipersuperficie o-, le cui proiezioni ortogonali sugli iperpiani 
coordinati (almeno nel campo considerato) corrispondano biunivocamente alV ipersuper- 
ficie stessa, esistono p funzioni Zj , z^ . . . z^ , integrali delle (21), tali che per una qualunque 
di esse, ad es. la z^, si possono assegnare lungo s- / valori della funzione, di una delle sue 
derivate prime, di ima delle sue derivate seconde, di una delle sue derivate di ordine 
t 
Teorema II.*"— Se 1' ipersuperfìcie e si riduce al sistema di n iperpiani (x^-- «.) pa- 
ralleli agli iperpiani coordinati, esistono p funzioni z. ...Zp, integrali delle (2 1 ), tali che 
per ciascuna di esse, ad es. la z^, possono assegnarsi lungo l'iperpiano x,. = 3c. / valori 
mi -1 
della funzione z e delle sue derivate — ìt-^ , purché siano dati in modo compati- 
bile e colla sola condizione della continuità e derivabilità. 
Atti — Voi Vili.— Serie 2" — X." 2. 2 
(21) 
con 
