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infine sugli S^ coordinati soddisfi alle componenti: 
e nel punto (a^ ... a„) prenda colle sue derivate tali valori che sia: 
"ÌL1(")=^^ ' ^[\2(.^) = ^ (escluso >-,= r, = ... = ?•„= 1) . 
Osserviamo subito che queste condizioni iniziali non sono contraddittorie e deter- 
minano la soluzione principale u. Infatti le condizioni 
"!r..«(") = l ; ^?ZnW = 0 (nel punto (a.... flj) 
determinano i valori che in questo punto debbono avere u e le sue derivate — ^ jf- 
1 n 
essendo 0<A;,.<m. — 1: esse infatti costituiscono un sistema di m, , m^...m^ equazioni 
lineari in altrettante incognite, il cui determinante è uguale al valore di 
«00...0 
nel punto (a^...aJ, valore che è certamente diverso da zero, se il punto {a^...a„) non 
è un punto singolare per l'equazione Cì(ii)=0. Quindi le condizioni n.'* . '"-\u)=0 da 
soddisfare lungo gli coordinati costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari 
omogenee ordinarie nella u e nelle sue derivate —, — , le quali servono a deter- 
minare i valori di queste quantità lungo gli coordinati stessi, essendo dati i valori 
iniziali loro e delle loro derivate rispetto ad x. nel punto {a^...a„), di poi le condizioni 
fì.' . ""^=0 determinano i valori della u e delle derivate -x- — ri — lungo gli S, coor- 
»! »n-2 
dinati, essendo dati i valori iniziali loro e delle loro derivate rispetto ad x^^_^ ed x^^ lungo 
gli Sj coordinati...; finalmente le condizioni fi.*'(«) = 0 determinano i valori della u e 
delle sue derivate rispetto ad x.^ sugli iperpiani coordinati = e la fi = 0 dà i va- 
lori della u in tutto S„. 
Siccome di più i successivi sistemi di equazioni che così si incontrano, hanno lutti 
la forma generale (21), il metodo delle approssimazioni successive, ripetutamente appli- 
cato, dimostra l'esistenza della soluzione principale. 
II. Cerchiamo ora un integrale u regolare (cioè finito e continuo insieme con quelle, 
sue derivate che compariscono nella equazione) dell'equazione 
(26) (ì{u) = Fix^...xJ 
