12. Supponiamo ora che le condizioni iniziali assegnate siano quelle espresse dal 
teorema 11'", e siano 5r.^=p.^ gli iperpiani, su cui è dato il valore della u e delle sue 
derivale; A= («,...«,) il punto ove si vuole l'integrale. Essendo ancora v la soluzione 
principale della ^{v) = 0 relativa al punto A, la formula (IV) dà immediatamente 
la qual formula dà il valore dell'integrale e ne dimostra anche in questo caso l'unicità. 
Dunque: 
Un integrale della (26) è individuato anche dalle condizioni iniziali del teorema 
Se nella (32) supponiamo che sia F = 0 e che m sia la soluzione principale della 
n(!t)=0 relativa al punto (|3j...pJ, la (32) stessa diventa: 
(33) 
e ci dà il teorema di reciprocità: 
La soluzione principale dell'equazione fì(u)=:0 relativa al punto di coordinate 
p,...p„) prende nel punto («, ...«„) (a meno delsegnoj il medesimo valore che la soluzione 
principale della equazione aggiunta, relativa al punto {a^... aj prende nel punto (^^ . . . ; 
cioè la definizione della soluzione principale non cambia, scambiando l'equazione data 
coli' aggiunta, le coordinate correnti coi parametri (cioè colle coordinate del punto rispetto 
al quale la soluzione stessa è stata costruita) *). 
15. 1 risultati dei due § precedenti fanno vedere come per l'integrazione completa 
della (26) sia sufficiente la determinazione della soluzione principale della equazione 
aggiunta: tenendo quindi conto del teorema di reciprocità, abbiamo che: 
L' integrazione della (26) e della sua aggiunta sono due problemi equivalenti. 
14. Accenniamo ora brevemente all'estensione di questi risultati ai sistemi di più 
equazioni della forma 
p "'li '"ni •■+•",..— '■.■1 
o _V V V ^' '■' '"Kj _^ ^ 
1 0 i' 0 j 2 
ik=l/2...p) 
*) Cf. Darboux, Legons etc. (Voi. 2°, pag. 81). — Bianchi, nota citata, pag. 139. 
