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2. Per una membrana rettangolare, di cui un vertice sia l'origine delle coordinale 
e due lati adiacenti di lunghezza / ed /' sieno rispettivamente l'asse delle x e delle y, 
le condizioni a cui è sottoposto w sono: 1*, soddisfare all'equazione (1); 2", soddisfare 
alle condizioni a' limili, cioè annullarsi per £d=:0 , x=.l ed ?/ e ^ qualunque; annul- 
larsi per y = 0 , y — t ed a? e ^ qualunque; 3*, soddisfare alle condizioni iniziali, cioè 
riprodurre all'origine del tempo Io stato iniziale del movimento, espresso da 
; ~ÒìJO\ 
essendo /"ed F funzioni essenzialmente nulle sopra il contorno della membrana per la 
sua fissità. 
La 1* condizione è soddisfalla, senz'altro, dal valore (2) di w. La 2" condizione è 
soddisfatta qu.mdo si ha ordinatamente: 
n T 
A=0 , ml — ìiT. da cui m^-j- 
h—\) , mi = tir. » m — —jr- 
(n ed n' numeri interi). Pei quali valori l'integrale (2) diventa: 
ovvero, posto y^ictt ^ — — : 
oc oc , 
(3) 10 = ^ 2 (Hseny^ + H'cosYOsen y-'j;sen -^y , 
La 3^ condizione è soddisfatta, determinando i coefficienti H ed li in funzione 
delle condizioni iniziali della membrana, rendendo cioè separatamente identiche le 
equazioni precedenti w^=f{x,y) , =zF{x,y) per ogni punto della membrana. Si 
calcola ^): 
4 A' P^' , . nn «IT , , 
H = — I I F(x,i/) sen —-xsen — ydì/dx , 
(4) 
f(x , y) sen — x sen — y ay dx 
Dalla forma dell'integrale (3) e dalle espressioni (4) risulta che ciascun termine 
rappresenta un movimento periodico e vibratorio, determinato dai coefficienti II ed II', 
dedotti, senza impossibilità, dallo stato iniziale. Questo può essere tale che nell'inle- 
I coefficienti H ed H' si sogliono dedurre sviluppando, secondo Fourier, f{x ,y) ed ¥{x,y) 
in doppia «erie trigonometrica; ma si possono anche verificare elementarmente. 
