1. Supponiamo i lati / ed l' commensurabili, e sia X la comune misura: 
l=:eX , r = e'X , 
ove e ed e sono due numeri primi Ira loro. Un suono corrispondente ad un termine di 
(3) ha per altezza 
Affinchè sia verificata la relazione -(—m-x' è necessario che si abbia n=mi z=:ìni\ 
quindi si rientra nel caso consideralo. 
5, II. Supponiamo soltanto i quadrati f commensurabili, allora è possibile per 
l e per /, di cui uno almeno irrazionale, avere — , ove A è un numero intiero, 
A. 
non quadrato. Un suono della membrana sarà dato da: 
c 
Questo suono può essere pigliato come base di una serie di suoni , che si otter- 
ranno da essa, moltiplicandola per i numeri interi J della serie naturale. 
Le basi delle diverse serie saranno date quindi da' numeri m capaci di essere par- 
lili nella forma n^ + An^, non quadrati e non divisibili per un quadrato : quislione delle 
« Forme quadratiche nella Teoria dei numeri » , che in parte è risoluta '). Il numero m 
così definito si può chiamare ['argomento della serie. 
Per una membrana della nota forma rettangolare /':/= 1 : J/2 sono argomenti i 
numeri : 
3 = P4-2.P ; 11 = 3^ + 2. P ; 17 = 3«-f2.2^ ; 19=P-f 2.3^ ; 41=3' + 2.4-^ ; 
33=l'' + 2.4^^ = 5- + 2.2^ ; ecc. 
Se si vuol conoscere il numero dei termini di w appartenenti ad un suono desi- 
gnalo vzrzj — bisognerà evidentemente risolvere in numeri interi l'equazione in- 
determinata 
(7) ■ n' + A«'-'=:Pm . 
Se si considerano le soluzioni intere dell'equazione indeterminata 
si ha una serie singolare di suoni; la sua base corrisponde al suono — , che la mem- 
brana non può dare, perciò si può dire che la base di questa serie è virtuale. 
') V. Dirichlet, Lezioni sulla teoria dei numeri (trad. Faifofer), §§ 69,70,71. Per alcune 
proprietà, cfr. I^egendre, Théoric des nombres, 2^ Ed., p. 312. 
