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I termini di w che appartengono ad un dato suono base si deducono dalie parti- 
zioni del suo argomento; e quelli appartenenti ad un dato suono multiplo dalle soluzioni 
intere dell'equazione: 
(14) n'-'-j- w'^ = Pm . 
Le soluzioni intere dell'equazione indeterminata 
n' + n' = y' ')» 
danno una serie singolare di suoni ; la base di questa serie è virtuale^ ed è uguale a — . 
2. Per formare l'equazione del sistema nodale che può accompagnare un dato suo- 
no emesso dalla membrana quadrata, è necessario conoscere il numero dei termini di w 
appartenenti a questo suono. 
II suono base v ( 1 , 1) = |/2 , ch'è il più grave di tutti e quindi il fondamentale, 
ha un solo termine in w. Ogni base il cui argomento m può spezzarsi in un sol modo 
m=zi'' -\- 1'^ ha due termini, uno per n = i , n=i\ l'allro per = n=:i. Ogni base, 
il cui argomento può spezzarsi in due modi, ha quattro termini; e così via di seguito. 
c .... 
Il suono multiplo v=: — J ym ha tanti termini in w, quante sono le soluzioni in- 
tere della (14). Nel determinare questo numero, conviene por mente alla forma parti- 
colare di J ed alla invertibilità dei numeri 7i ed n. 
') V. R. Baltzer, Elementi di Matematica (trad. Cremona, 3* parte, p. 110). 
-) P Se J non è decomponibile nella somma di due quadrati, v avrà tanti termini in io quanti 
sono quelli della base, 
2° Se J è decomponibile in uno o più modi, bisogna tener presenti i teoremi 3° e 4" del 
§ precedente, n. 6, che valgono anche attualmente. 
Suppongasi dapprima J decomponibile in un sol modo nella somma di due quadrati, -f"^^» 
e suppongasi l'argomento m = ^{!)^ , applicando il teorema 4°, si conchiude che il numero dei 
termini in cui può spezzarsi J"m è 3, e per la invertibilità dei numeri n qA. n il numero dei ter- 
mini si raddoppia. Ed in effetti, prendendo i seguenti valori assoluti 
w = a(a^ — &-')q=2^a5 , 
ove i segni superiori ed inferiori si corrispondono, si hanno così 4 soluzioni. Altre 2 son date da 
n = Ja , ?i' = J^. 
Suppongasi in secondo luogo J =r or -f h- ed m — «'| + = 4- jS^ = . . . = -{- . Applicando 1c 
volte le considerazioni precedenti, si hanno 2. 3. A; soluzioni. 
Suppongasi in terzo luogo J=rt'j-j-i^^-=rt^-f ^2— ^^4" >'^=«'+i=^^=^°'M"P.2=--*— «^T^^i 
da quanto precede risulta che si hanno 2.'3.h.Ji soluzioni. E si comprende anche il modo come si 
deducono i valori di esse. 
Le precedenti deduzioni valgono per J ed m numeri primi. Se non sono tali, allora si farà uso 
delle formule che assegnano in quanti modi il numero mJ^ si può spezzare nella somma di due qua- 
drati. È noto che un numero N può rappresentarsi con 2^ S . A". /A . ./("i^ , in cui [x , a . p , . . . sono 
interi positivi, S un prodotto di fattori primi, ognuno della forma 4n -\-'ò ; h, , , .. . , fattori 
primi disuguali, ognuno della forma 4n-\-l. Inoltre si sa che se S non è un quadrato, N non si può 
