La discussione dei sislemi nodiili che accompagiiuiio i suoni che può dare una 
membrana quadrata non può essere trallata con tutta generalità, conviene quindi limi- 
lare il compito ad una seiie di esempi, definiti da relazioni semplici tra gli argomenti, 
e sulfìcienli per una larga verifica sperimentale. 
3. Per un suono v(?',f) si hanno due termini in w corrispondenti ad n = ì , n'z=z{ 
ed nz=zì\n — i. Se si chiamano con A e B e con A' e B ciò che divengono ordinata- 
mente H' ed H, si ha: 
w r ?■ TTW , . . , , ^, , ?"7tx mi/ 
tij = (AcosYf' + BsenYOsen-— sen— [-(h. cosy^-i-B senyO^en -— sen— . 
Supponendo le velocità iniziali nulle, allora B--=B'=nO, il tempo si elimina, e l'e- 
quazione del sistema nodale è: 
ÌT.X i 7T?/ , . , ÌTZX i'Ky 
(15) A sen - sea ---- -f- A sen — — sen - — = U . 
K K K K 
4. I. Pel suono si ha in w un sol termine, e l'equazione del sistema nodale 
è data da 
■ìt.x my 
sen — — sen — = 0 , 
da cui 
X ' X 
sen— — = 0 , sen- - = 0 
7,X /.X 
In queste formule facendo prima ? = 1 ,2 ,3 , 4 , . . . ,7ì; e dopo ordinatamente A; = 0 ; 
A;= 1 ; /i= 1 , 2; A;= I ,2,3; ecc. si ottengono per ligure nodali wx\ ecjual numero di re II e 
parallele ai lati della membrana ed cquidislanli Ira loro. 
In particolare, il sistema nodale che accompagna il suono v(l , 1) consta dei lati 
della membrana, cioè essa vibra per intero; quello del suono 2v(l , l) = v(2 , 2) di due 
rette passanti per il centro; ecc. 
5. li. Supponiamo nella (15) /' = 2/, sviluppando il seno dell'arco doppio, otte- 
niamo: 
, , inxX mx my 
A cos -— - + A cos ) sen sen -— - — 0 , 
X • X / /. X 
decomporre nella somma di due quadrati. Ciò posto, siccome N=)hJ'' è decomponibile almeno in 
un modo nella somma di due quadrati, così S è un quadrato, ed il numero delle partizioni di N 
è , "^^^ H — («+ 1) (fM" ••(''^-1" !)• La prima suppone ja qualunque ed uno almeno de- 
gli esponenti a,|3,...,T impari; la seconda suppone jji. impari e gli esponenti a,|3,...,T pari. (Si 
esclude - , proposta dal Volpiceli i, perchè suppone N un quadrato, ipotesi esclusa nel nostro 
caso). Quindi il numero dei termini di xo spettanti ad un determinato suono è H o H — 1. 
