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Trasformando le t'orinole (7) per mezzo delle relazioni 
*B,==i(À'A"),(*'*")j , A < ^ = ì(aV),(B'BV 
si troverà 
1 = (A' b) (A») (A" v) (V b" v) — (B" a) (Bv) (B' ») (a' a" ») = 0 , 
i = (rt'B) (aV) (a"V) (B'B"V) = (6- A) (iV) (6' V) (A' A'V) = 0 . 
È chiaro elio le linee di 2° ordine, o di 2 :i classe, (5) e (6) si decomporranno in 
coppie di rette, o in coppie di punti, quando i punti corrispondenti X ed Y, ed il punto 
V, apparterranno ad una delle rette unite, o le rette corrispondenti x ed y, e la retta 
apparterranno ad uno dei punti uniti: segue da ciò che i discriminanti delle equa- 
zioni (5) e (6) saranno rispettivamente , T(y) , T(f>), o <|>(X) , $(Y) , f(V). 
Supponiamo che i punti corrispondenti X ed Y coincidano col punto unito V, o 
pure che le rette corrispondenti x ed y coincidano con la retta unita v; si avrà (per le 
forinole (1) e (3) del numero precedente) indicando con (M,n) , (N,wi) , (m,N) , (n,M) 
costanti da determinare, 
(Mji = (AtQ6, = (At>)6 3 = (M ^ n) (B P )a, = ( Bv)a z = (Br)a, ^ ( N ? m } 
(«V)B, _ (aV)B g _ (aV)B 3 _ (éV) A, _ (6V) A 2 _ (6V)A 3 _ 
V, '! *3 V, > 2 . V 3 
(8) 
(n,M) 
eliminando tra queste equazioni le u n o le V f , e limitandoci a considerare il caso in 
cui il connesso proposto, o il suo coniugato, non sia speciale (onde i determinanti 
(A, b) = (6, A), ed (a,B):=(B,a) diversi da zero), posto per semplicità, come è lecito, 
(A ,&) = (&, A)= 1, e quindi anche (a,B) = (B,a)=l , o viceversa, si troveranno le 
equazioni 
(A, b ; M,w) = l — (aB)(M,n)-f(A6)(M,«) 2 — (M,») 3 = 0 , 
■ (B,a ; N,m) — 1 — (5A)(N,m)4-(Ba)(N,m) 2 — (N,m) 3 =:0 , 
(9) 
(«,B ; m,N)=l — (A6)(m,N) + (aB)(m,N) 2 — (m,N) 3 — 0 , 
(6, A ; »,M) = 1 — (Ba)(n,M) + (6A)(n,M) 2 — (w,M) 3 r=0 , 
di cui i primi membri sono i determinanti (A , b) , (B , a) , (a , B) , (b , A) , in cui dagli ele- 
menti principali si è sottratta una delle quantità (M,w) , (N,w) , (m,N) , (n,M). 
Segue dalla forma delle equazioni (9) che (M ,n)=(n,M.) , (N,m) = (m y N), ed 
inoltre (M , n) (N , ro) = (n , M) (m , N) = 1 . 
Per ciascuna radice delle equazioni di 3° grado (9), le equazioni (8) determine- 
ranno un punto unito, o una retta unita; supporremo le tre radici diseguali, e quindi 
non coincidenti tra loro due punti uniti, o due rette unite. 
È importante notare i casi speciali che possono aver luogo. Per ciascuna radice 
(M,n) , (N o (m,N) , (n , M) delle equazioni (9) si determina un punto unito, o una 
retta unita, del connesso come punto appartenente a due qualunque delle tre rette rap- 
