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presentalo dal primo sistema delle; equazioni (8), o come retta appartenente a due qua 
lunque dei tre punti rappresentati dal secondo sistema delle equazioni (rt). Se poi quelle 
tre rette, o puro (pici tre punti, coincidono in una stessa r£tt&, è pure coincidono io 
uno slesso punto, nel qual caso si annullano, per la radice che si considera, tutt'i de- 
terminanti minori di 2° ordine dei determinanti (9), vi saranno nel connesso infiniti 
punti uniti, tutt'i punti appartenenti ad una retta, ed infinite rette unite, tutte le rette 
appartenenti ad un punto; è chiaro che allora saranno nulle le prime derivate dei de- 
terminanti (9) rispetto ad (M , n) , (n , M) , (N ,m) , (m , N) , sicché ciascuna delle equa- 
zioni (9) avrà una coppia di radici eguali. In tal caso le figure proietlive nel piano sono 
in prospettiva, o omologiche. Finalmente se le equazioni (8) sono soddisfalle identica- 
mente , nel qual caso si annullano , per la radice di (9) che si considera , tutti gli ele- 
menti dei determinanti (9), ogni punto, o pure ogni rella , del piano sarà un punto 
unito, o pure una retta unita; è chiaro che allora saranno nulle le prime e le seconde 
derivate dei determinanti (9) rispetto ad (M,n) , (rc,M) , (N,w) , (m,N), sicché ciascuna 
delle equazioni (9) avrà le tre radici eguali. In tal caso le figure proiettive nel piano 
sono coincidenti, o identiche. 
Se le equazioni (9) hanno due radici immaginarie, essendo esse coniugale (poiché 
supponiamo reali i coefficienti nell'equazione del connesso) i punti uniti, e le rette uni- 
te, del connesso corrispondenti a quella coppia di radici immaginarie coniugate avranno 
le espressioni delle loro coordinate immaginarie coniugale, e quindi la retta unita co- 
mune a quei due punti uniti corrispondenti, ed il punto unito comune a quelle due rette 
unite corrispondenti, avranno, come è facile vedere, le coordinale reali. Segue da ciò 
che nelle figure proiettive in un piano un punto unito, ed una retta unita , sono sempre 
reali; gli altri elementi uniti possono essere immaginari. Se le figure proiettive sono 
in prospettiva, l'asse ed il centro di prospettiva sono la retta unita, ed il punto unito, 
sempre reali. Vi sarebbero ancora a considerare alcuni casi limiti del connesso, quando 
cioè i tre punti uniti appartengono ad una stessa retta, o le tre rette unite apparten- 
gono ad uno stesso punto, o pure quando due punti uniti, o due rette unite, sono tra 
loro coincidenti ; ma di questi casi non faremo ulteriormente discorso. 
Si prenda per terna fondamentale di rette e di punti quella delle rette unite, e dei 
punti uniti, e dinotiamo le forinole corrispondenti alle precedenti, per la nuova terna 
fondamentale, con le stesse lettere, ma di altro alfabeto: si vedrà facilmente che le 
equazioni dei connessi coniugati avranno allora la forma canonica 
(*?) = A, b, x, Y, + A 2 b 2 x 2 Y 2 + A 3 b 3 x 3 Y 3 = 0 , 
(10) 
(?*) = a, B, X, y, -f- a 2 B 2 X 2 y 2 + a 3 B 3 X 3 y 3 =0 . 
I coefficienti di queste equazioni saranno le tre radici delle equazioni (9), si avranno 
perciò le relazioni 
A 1 b, + A 2 b 2 + A 3 b 3 = (Ab) = (A6) , a 1 B, + a,B 2 + a 3 B 3 = (aB) = (aB) , 
A 2 b 2 .A 3 b 3 + A 3 b 3 .A I b 1 + A,b 1 .A 2 b 2 .^r(a,B) = (a,B) , 
(11) 
a 2 B 2 • a 3 ^3 H~ a, B 3 • a! B, -f - a, B, . a 2 B 2 = (A , b) — (A , b) , 
A I b.A 2 b,.A 3 b 3 = (A,b) = (A,*)=rl , ai B, . a 2 B 2 .a 3 B 3 = (a,B) = («,B) = l . 
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