- 15 - 
essi avranno di comune la coincidenza determinata dai duo connessi coniugati ai prò 
posti, che corrispondono in (9) ad fl"=0, e ad O' =0. 
Nei connessi (9) l'inviluppo delle rette // che corrispondono ad una rolla rr, o pure 
il luogo dei punii X che corrispondono ad un punto Y, sono dati rispettivamente da 
(a'X) (a"X) (B'B"Y) =Ó , o purè (H'y) (H".y) {dà'x) — 0 , 
cioè sono il punto corrispondente alia retta ce, o pure la retta corrispondente al punto 
Y, nella coincidenza coniugata alla proposta. La seconda delle suddette equazioni rap 
presenta poi il luogo dei punti Y che nei connessi (9) corrispondono ad un punto \ , e la 
prima di esse rappresenta l'inviluppo delle rette x che nei connessi (9) corrispondono 
ad una retta y. 
In ciascuna serie dei connessi (8) e (9) vi sono Ire connessi speciali ; i valori di 
u>':a>", o di 0':O w , che li determinano sono le radici dell'una o dell'altra equazione 
di 3° grado, che si ottiene eguagliando a zero il determinante che ha per elementi 
e> A " o il determinante che ha per elementi iid$ -\-fìt a "B ."(per ?,,/= 1 ,2,3). 
1 punti e le rette singolari di questi connessi speciali sono costituiti dalle terne singo- 
lari (M ] M 2 M 3 , m m 2 m 3 ) ed (N N 2 N 3 , «,n 4 «.,) della coincidenza proposta e della sua con- 
iugata. I determinanti suddetti , bordati con y. ed X , o pure con Y ed oo , rappre- 
senteranno i connessi coniugati di (8), o pure di (9). 
Consideriamo ora simultaneamente tre connessi di 1° ordine e di l a classe , ed i 
loro coniugati, rappresentati rispettivamente dalle equazioni 
(A'<r) (t> Y) — 0 . (A"x) {V Y) == 0 , (#» (b'" Y) = 0 , (10) 
ed 
(a'X)(B'y) = 0 , (a'X) (B'y) = 0 , (à"X) (B"'y)~ 0 , 
per ciascuna delle tre coppie di connessi coniugati appartenendo i punii X con le retle 
x ad un primo piano, ed i punti Y con le rette y ad un secondo piano, rimanendo ana- 
loghe alle precedenti le relazioni fra le A 6 e le ft.B.. 
Gli elementi (punto e retta) in numero semplicemente infinito, che verificano si- 
multaneamente il primo, o il secondo sistema delle equazioni (10), costituiscono una 
coppia di linee (un luogo ed un inviluppo), o la sua coniugata, rispettivamente di 3° or- 
dine, e di 3 a classe: infatti al punto X del primo piano, o pure alla retta y del secondo 
piano, corrispondono nei tre connessi, nel secondo, o pure nel primo piano, tre punti, 
o pure tre rette, che hanno per coordinate rispettivamente 
y/=(A'*)è; , y:~-(\"x)b: 1 , y< ~=(A>)V ; x:=(6'Y)a; , x/=(//y)a/ , x;'=(rY)V ; 
quei tre punti apparterranno ad una retta y, o pure quelle tre rette apparterranno ad 
un punto X, verificandosi I' una o 1' altra delle equazioni 
(A'ar) (A"x) (k"oc) (b'b ' b") = 0 : (b'Y) (è" Y) (b"'Y) (A A" A'") = 0 . 
(11) 
